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Ricci流与Yamabe流的新结果

程亮  
【摘要】:本篇论文讨论了两种重要的几何流: Ricci流和Yamabe流. 论文的第三章研究了Ricci流的曲率张量的控制问题.设(M~n,g(t))为在完备流形上的Ricci流的解,其中t∈[0,T).本章首先证明了若M~n为紧致无边的并且T ∞,则数量曲率和Weyl张量的Ln+2/2模的界在Ricci流下可以控制曲率张量模的界,同时对Ka¨hler Ricci流也得到了一个类似的结果.然后本章证明了若M~n为完备的且T可以无限时,并且假设t = 0时曲率张量有界,则数量曲率和Weyl张量模的界在Ricci流下可以控制曲率张量模的界.本章最后证明了若M~n为完备的且T ∞,并且假设t = 0时曲率张量有界,则Ricci曲率的界在Ricci流下可以控制曲率张量模的界. 论文的第四章研究了在紧致无边的流形上的Yamabe流的延拓问题.设(M~n,g(t))为紧致无边的流形上的Yamabe流的解,其中t∈[0,T)且T ∞.本章首先证明若数量曲率在时间段[0,T)有上界,则此Yamabe流可以光滑延拓出时刻T.然后证明了若(M~n,g(0))的Yamabe不变量为正,并且数量曲率的Ln+22模在[0,T)上是有界的,则此Yamabe流可以光滑延拓出时刻T. 论文的第五章研究了局部共形平坦的完备流形上带收缩条件Rc≥εRg 0的Yamabe流,其中ε为一正常数.本章首先证明了局部共形平坦的完备流形上带收缩条件Rc≥εRg 0的Yamabe流的古老解一定是紧致的并且其截面曲率为正常数.然后本章证明了若(M~n,g)为Ricci曲率有界并且局部共形平坦的n维完备流形,其中n≥3,若其满足Rc≥εRg 0,则只可能出现以下两种情况:或者M~n是紧致的, M~n的万有覆盖跟Sn微分同胚;或者M~n是非紧的, Yamabe流=-Rg在M~n上的解长时间存在并且当t→∞时有sMup Rc(x,t)→0. 在本篇论文所研究的问题中,爆破分析的技巧贯穿于始终,特别在第三章和第五章遇到的很多问题需要在完备非紧流形上或者长时间存在的Ricci流和Yamabe流作爆破分析,这种情况下的单射半径往往得不到一致的控制.本篇论文用Fukaya-Glickenstein给出的技巧克服了这个困难.


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