量子群的晶体基与典范基

【摘要】：本文研究了量子群的晶体基理论及其在典范基理论中的应用。 关于晶体基的实现问题,对于任意可对称化Kac-Moody代数g,Littelmann曾给出过量子群Uq(g)的不可约可积最高权表示的晶体基B(λ)(最高权为支配整权λ)的一个道路实现。为了推广此道路模型,我们引入了广义Littelmann道路,并利用其等价类得到了量子群负半部分的晶体基B(∞)的一个具体实现。 另外,我们研究了一系列量子群的张量积表示的滤过及合成列的构造。给定一对支配整权(λ,μ),Lusztig曾猜想,当g为有限型时,Uq(g)-模V(λ)(?)V(-μ)存在一个与其典范基相容的合成列。我们将上述猜想推广至如下形式并加以证明——对于任意可对称化的Kac-Moody代数g,Uq(g)-模V(λ)(?)V(μ)存在一个与其典范基相容的合成列。利用类似的方法,我们还构造了Uq(g)-模V(λ)(?)V(-μ)的一个与典范基相容的滤过,其中相邻两项的商模或为0,或为不可约可积最高权Uq(g)-模。特别的,当g为仿射型且λ-μ的level大于0时,如此构造的滤过去掉多余重复项后恰为合成列；对偶的,当λ-μ的level小于0时也能得到V(λ)(?)V(-μ)的合成列。此外,同样在g为仿射型时,我们还构造了张量积V(λ)(?)Vmax(γ)(γ的level为0)的一个与典范基相容的合成列,从而给出了其晶体基的张量积分解的一个表示论解释。 最后,在g为任意型可对称化Kac-Moody代数时,我们利用以上构造的V(λ)(?)V(-μ)的滤过,定义了modified量子包络代数U的一个理想U′,其中U′由所有U中可零化任意不可约可积最高权Uq(g)-模的元素构成。可证明该理想对应的商代数(?)也从modified量子包络代数U处继承有典范基,同时(?)从U处继承有类似余乘的结构。我们进一步证明了该代数(?)与Kashiwara定义的量子坐标环存在某种对偶关系,从而推广了Lusztig在有限型时对于量子坐标环的构造。