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波动方程的高斯过程模型分析及在晶圆切割中的应用研究

赵宏旭  
【摘要】:用于描述弹性体波动情况的波动方程是一种常见的偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)。波动方程作为确定性模型很难考虑误差因素的影响,不能完全描述复杂的生产过程。而传统的统计模型虽然可以拟合误差因素,却难以融入生产过程的工程知识以及变量间的物理联系,可能得到与工程知识相违背的预测结果。这两类模型各有其局限性,影响预测和控制的效果。针对波动方程描述的生产过程,本研究结合波动方程描述波动特性的能力以及统计模型消除误差影响的优势,建立了“波动方程-高斯过程(Gaussian Process, GP)”模型,即PDE-GP模型。PDE-GP模型根据波动过程中误差的来源和影响,将观测数据分解成设计值、有解析形式的系统误差、无解析形式的系统误差、随机误差等四个部分,有效提高了对波动过程的预测能力。PDE-GP模型根据波动方程推导出的基函数组是波动过程的本征函数,与外界扰动无关,体现了波动特性和变量间的联系。通过PDE-GP模型,可以同时控制期望和系统误差,能有效提高控制和优化的效果。 晶圆的多线切割是一个典型的由波动方程描述的生产过程。多线切割是目前生产晶圆的主流方法,其材料去除率决定了材料损耗程度和晶圆的厚度误差,对晶圆合格率、生产成本以及后续研磨和抛光等工序有显著影响。本研究通过分析锯线的波动和研磨液的弹性流体特性,建立了多线切割的工程模型,包含材料去除率的理论公式、波动方程和雷诺方程三个部分。由于锯线在波动过程中受到各种外来扰动的影响,确定性的波动方程不能完全体现锯线的真实波动过程。而且,由于波动方程与雷诺方程相耦合,没有解析解和有效数值解,使多线切割的工程模型不能直接用于预测和控制。本研究根据波动方程的傅利叶展开和全局伽辽金离散化,以及对误差因素的分析,建立了多线切割过程的PDE-GP模型。基于实验数据的模型检验中PDE-GP模型的预测效果优于常用的通用克里金模型和回归模型。本文研究基于PDE-GP模型建立了多线切割的优化方法,并结合实验数据检验了优化效果。 本研究还讨论了不同形式的波动方程所对应的PDE-GP模型,并把PDE-GP模型的建模方法推广到一般的工程模型。


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