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分形几何中的两个问题

邓娟  
【摘要】:本文主要研究了分形几何中两个方面的问题:完备度量空间中自相似集的bilipschitz嵌入,以及Cantor乘积集的最优集. 两个集合之间的bilipschitz嵌入问题,事实上是在探讨一个集合与另一集合的子集之间的bilipschitz等价性.分形集的bilipschitz等价性问题,属于”分形对象的分类”这个研究范畴,是分形几何研究的中心问题.这是一个非常重要的问题,但即使是对满足强分离条件的自相似集,这个问题也复杂而困难.对于完备度量空间中的满足强分离条件的自相似集,我们证明其与欧氏空间中某个满足强分离条件的自相似集bilipschitz等价.故而,对满足强分离条件的自相似集的bilipschitz等价研究,只讨论其在欧氏空间中的情形即可. 对于完备度量空间中自相似集的bilipschitz嵌入问题,我们得到的主要结论是:满足强分离条件的自相似集一定能够bilipschitz嵌入至任意一个更高维自相似集中;两个相同维数的满足强分离条件的自相似集之间存在bilipschitz嵌入映射,当且仅当它们是bilipschitz等价的.为了证明这两个结论,我们引入并定义了s-结构集这个新的概念,证明了包括满足强分离条件的自相似集在内的一些典型分形集具有s-结构.再以Alhfors-David正规集为“桥梁”,建立了s-结构集与更高维自相似集之间的bilipschitz嵌入映射. 计算Cantor乘积集C×C的Hausdorff测度,长期以来,都是一个很困难的问题,这里C是经典的三分Cantor集.众所周知对满足强分离条件的自相似集,确定其Hausdorff测度等价于确定其最优集.本文对C×C的最优集进行了系统的研究,包括:它们的直径,测度,对称性,以及形状和结构.为此,我们引入并利用了一系列的方法与工具:排斥原理,二分图G,以及W-函数.从而,证明了最优集B的直径介于1.2993与1.3082之间.同时,我们还得到对C×C的Hausdorff测度的一个迄今为止最好的估计.并且,得到了B的两个对称性质.最后,我们证明了B的形状非常接近于一个圆盘.我们猜测最优集可以是一个圆盘.


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