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非负二次函数锥规划

路程  
【摘要】:非负二次函数锥,即在给定的区域上全体非负的二次函数构成的锥,是经典的半正定锥及共正锥的扩展。由于任意二次规划问题均可转化为与其等价的非负二次函数锥规划问题。因此,对非负二次函数锥规划问题进行深入研究,可以进一步促进二次规划的发展。 在二次规划领域的传统研究方法中,拉格朗日对偶方法及半正定松弛方法是两类重要理论工具。然而这两类方法具有一定局限性。特别对于非凸情形,上述方法通常引入非零对偶间隙或松弛间隙。为了克服传统方法的局限性,本文将利用非负二次函数锥规划的理论与方法对二次规划进行研究。通过建立非负二次函数锥规划问题与二次规划问题拉格朗日乘子之间的理论联系,可以从线性锥规划的视角对二次规划问题的全局最优性条件,松弛算法,可解子类进行深入研究。基于这样的研究视角,本文提出了二次约束二次规划问题及0-1二次规划问题的新的全局最优性条件,该条件比以往文献中的半正定性条件更具一般性。同时,基于该条件,得到了一类可多项式时间求解的二次规划子类问题,从而扩大了问题的可解情形。在算法方面,为了有效求解非负二次函数锥规划问题,本文设计了自适应逼近策略。该策略可以根据问题数值特性自动地提高逼近效果。相关算法收敛性得到了证明,同时数值算例表明了其有效性。 本文的主要创新点包括: 通过建立非负二次函数锥规划与二次规划拉格朗日乘子之间的理论联系,提出了二次规划问题的新的全局最优性条件,该条件比以往文献中提到的半正定性条件更具一般性。 基于锥规划的方法,给出了二次规划问题的新的可多项式时间求解的子类问题,从而进一步扩展了二次规划问题的可多项式时间求解情形。 为了有效求解非负二次函数锥规划问题,设计了非负二次函数锥的可计算逼近策略。该策略对问题具有自适应性,即根据问题本身的数值特性,可自动地改进逼近效果。


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