有限边传递亚循环图和局部-拟本原图

【摘要】：一直以来，分类和刻画有限图都是代数图论研究中的一个热点问题。本文主要研究边传递亚循环图。其主要研究方法包括：子图及商图理论，置换群和抽象群，单群分类定理，及群的因子分解理论。同时也对局部-拟本原图进行一定的讨论。 亚循环图的概念首先由Alspach和Parsons (1982)提出。这类图具有mn个顶点，且有两个自同构ρ、τ，满足条件：ρ在mn个顶点作用半正则，并且具有n个轨道；τ循环置换ρ的n个轨道，并且正规化ρ；τn至少固定一个顶点。对于边传递亚循环图的研究，本文主要包括以下四个方面： 1.一般亚循环图的研究。Alspach和Parsons定义的亚循环图比较复杂，研究起来不是很方便。本文给出了一个群论判定准则：一个图是亚循环图当且仅当该图的自同构群包含一个分裂的亚循环子群。这为研究循环图提供了简单明了的定义和刻画。 2.对几类重要的亚循环图，给出了精确的刻画。特别地，对Frobenius亚循环群上的亚循环图给出了分类。比如本文证明了，在同构的意义下，Frobenius群Zpd:Zm恰有φ(m)/2个度数为2k的边传递Cayley图，其中k整除p1，φ是Euler-函数。此结果覆盖了前人的许多结果。 3.分类并刻画了包含一个正则二面体群的二部拟本原(bi-quasiprimitive)置换群，为二面体图的研究提供了强有力的群论工具。作为一个应用，本文给出了二面体群D2pd上的度数与p互素的边传递二面体图的完全分类。 4.构造了几类半传递图类（无限类）。比如，证明了几类重要的Frobenius亚循环群上的边传递图大多数都是半传递图。在这个突破性的结果的引导下，本文提出了一个猜想：除了几类已知的非常特殊的图，奇阶Frobenius亚循环边传递图都是半传递图。 另外，本文也讨论了G-局部-拟本原图中G的全局作用以及该类图的结构，从而扩展了关于局部-本原图和点传递局部-拟本原图的结果。