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Shimura曲线的一些算术问题

张翀  
【摘要】:数论中有两大主题:解析与算术。Birch和Swinnerton-Dyer猜想(BSD)将解析量与算术量联系在一起。对于Q上解析秩≤1的椭圆曲线,此猜想已被Gross-Zagier[19]和Kolyvagin[28][29]的工作所基本完全证明。张寿武已将Gross-Zagier公式推广到全实域,并且田野和张寿武将Kolyvagin[28][29]和Bertolini-Darmon[4][7]关于BSD的相应工作推广到了全实域。在本文中,我们主要研究两个课题:一方面是自守表示理论中的theta对应;另一方面是算术几何理论中的Shimura曲线。它们之间是有紧密联系的。我们的目标是将Bertolini-Darmon[5]的方法推广到全实域。 在解析方面,我们研究对于酉相似群的theta对应的局部和整体理论。在p-adic域时,受Roberts[41]在正交相似群和辛相似群上工作的启发,我们考虑了两种构造酉相似群的Weil表示的方法并且证明它们是等价的。在某些情形下我们证明了强Howe对偶成立。在全实数域时,我们讨论了Siegel-Weil公式、加倍积分和Rallis内积公式,这是对Harris的部分工作[20][21][22]的总结。在第三章中,为了今后的算术应用,我们考虑2维的情形,主要讨论L-函数的中心值公式。 在算术方面,给定全实域上GL2的一个尖自守表示可以得到一条相关的Shimura曲线。在第四章中,我们研究这条Shimura曲线的算术性质,其中包括它的坏约化以及相关的连通分支群。基于L-函数的中心值公式,通过在Shimura曲线上构造CM点以及利用连通分支群上的monodromy配对,我们得到了一个算术中心值公式,这是将Bertolini和Darmon[5]的工作推广到全实域。作为应用,我们在第五章证明了一个关于阿贝尔簇的Mordell-Weil群有限的BSD类型定理,这同样是将Bertolini和Darmon的工作[5]推广到全实域。我们的方法与田野和张寿武[45]的方法不同。


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