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有界变差过程不确定分析

陈孝伟  
【摘要】:不确定过程是随时间变化的一列不确定变量,不确定分析是研究不确定过程函数的积分和微分的理论.在不确定过程中有一类样本轨道有界变差的过程,称为有界变差过程,它包括典范过程、更新过程和稳态独立增量过程等.以有界变差过程为基础建立起来的不确定分析是本文研究的重点,它包括不确定积分和不确定微分.本文研究的不确定积分是指不确定过程对有界变差过程定义的积分,该不确定积分具有连续性质和线性性质.在引入不确定过程可积性的定义之后,本文给出了不确定过程可积的充分条件.在不确定积分的框架下,我们研究了不确定过程可微的性质,并给出了不确定过程函数微分的基本定理.此外还导出了不确定积分的分部积分公式和积分换元公式.为了更好的研究不确定分析的性质,本文还将不确定积分推广到高维情形,给出了高维情形下的不确定分析基本定理. 在不确定分析的基础上,本文研究了有界变差过程驱动的不确定微分方程,该方程的解是一个不确定过程.运用不确定分析的基本定理,我们求解了一些特殊不确定微分方程.就像微分方程一样,绝大部分的方程是很难求解的,为了更好的运用不确定过程解决实际问题和建立数学模型,本文研究了不确定微分方程解的存在唯一性定理.在实际运用中方程解的稳定性也是需要经常考虑的,本文引入了不确定微分方程稳定性概念,给出了线性不确定微分方程稳定性的条件.本文的创新点主要有: 定义了不确定过程关于有界变差过程的不确定积分,给出了此类不确定积分存在的充分条件及数学性质; 引入了不确定过程关于有界变差过程可微的定义,证明了这类不确定分析中的基本定理并将其推广到高维情形; 定义了有界变差过程驱动的不确定微分方程,给出了求解若干类不确定微分方程解析解的方法,证明了解的存在唯一性定理,给出了稳定性的定义和条件.


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