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连续稳定树的精细性质

王冠颖  
【摘要】:γ-稳定树是随机可测紧度量空间,是树上个体的繁殖分布位于一个γ-稳定域的Galton-Watson树的标度极限,其中γ取值于(1,2]。 γ-稳定树构成了一类特殊的Le′vy树(Le Gall et al[1]中将Le′vy树做为连续状态分支过程的谱系结构引入),并且在γ=2时,我们称其为布朗情形,此时稳定树即为Aldous连续统随机树[2](Continuum Random Tree,简称CRT),我们称为布朗树。 代替一般的Hausdorf测度与填充测度,给定一个纲函数,我们可以定义关于纲函数的Hausdorf测度及填充测度,若测度正有限,则称该Hausdorf测度或填充测度以此纲函数为纲。在这篇博士论文中,我们主要研究了γ-稳定树上a-局部时测度与质量测度的精细性质。质量测度是γ-稳定树上一个自然的测度:它是γ-稳定树上分布均匀的测度,并且是一个有纲的填充测度。在布朗情形γ=2时,质量测度是一个有纲的Hausdorf测度~([3,4])。 我们首先讨论布朗树水平集上半径为r的球局部时测度的极大值和极小值(水平集为树上距离树根距离相同的点集)。依据所得结果,进一步可推出半径为r的球局部时测度的极大值渐近等价于1/2r log1/r。接着我们证明了半径为r的球局部时测度的极小值介于r~2(log1/r)2与r~2(log1/r)~(-2)之间。同时,我们也求得了半径为r的球局部时测度极大值与极小值的准确分布。 其次,在一般的稳定情形γ∈(1,2]时,我们考虑半径为r的球的质量测度的极小值,这里,我们得到极小值的阶为γ/r~(γ-1)(log1/r)~(-1/γ-1)。对于半径为r的球的质量测度的极大值,在γ=2时的布朗情形,我们证明了半径为r的球质量测度极大值的阶为r~2log1/r。 此外,我们计算了稳定情形下质量测度下局部密度的确切常数为γ1,γ∈(1,2],不存在等价于质量测度在典型点的上密度的确切函数。而在布朗情形则不同:我们计算了这种情形的上局部密度的确切常数为4/π2,是~([3–5])中工作的继续。


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