量子群典范基的参数化和Hall代数范畴化

【摘要】：本学位论文研究的主要内容为代数表示论和量子群的变形(U|˙)及其典范基之间的关系。尤其将研究：（1）根范畴和(U|˙)的典范基之间的关系；（2）BGP反射函子和(U|˙)上的Lusztig对称子之间的关系；（3）Lusztig对称子的几何实现。 对任意的可对称化的Kac-Moody李代数，Lusztig在[1]中定义了相应的量子群的变形(U|˙)及其典范基。对有限型和仿射型对称李代数，本论文将定义一个仅仅依赖根范畴的集合并证明这个集合和(U|˙)的典范基一一对应。我们首先考虑有限型的情况，这时根范畴中所有对象的同构类构成的集合仅仅依赖根范畴，对这个集合中的任意一个元素，可以定义(U|˙)中的一个PBW型基元素，进而得到(U|˙)的一组PBW型基。然后可以通过这组基得到一组对合(ˉ)作用下不变的基，这组基和(U|˙)的典范基有一一对应。仿射型时，利用Lin，Xiao和Zhang在[2]中定义的U~+的PBW型基，我们也可以定义一个仅仅依赖根范畴的集合，并证明这个集合和(U|˙)的典范基一一对应。 Lusztig在U和(U|˙)上定义了一系列对称子。由于double Ringel-Hall代数可以实现量子群，所以可以利用BGP反射函子诱导double Ringel-Hall代数上的一些算子，来实现U上的Lusztig对称子并证明它们的一些重要性质，比如辫子群关系。本论文将定义Ringel-Hall代数的一个变形˙，以及˙上的Lusztig对称子，并利用BGP反射函子诱导˙上的一些算子。可以证明，这些算子限制到(U|˙)上，可以实现(U|˙)上的Lusztig对称子。同样这些算子也可以实现˙上的Lusztig对称子。 注意到U~+在Lusztig对称子T_i下的像不包含在U~+中，所以Lusztig[3]研究了U~+的两个子代数_if和~if，其中_if为U~+中在T_i下的像仍然在U~+中的元素构成的集合，~if为_if在T_i下的像。这时典范基可以诱导_if的基_iB和~if的基~iB。Lusztig也说明了T_i诱导的映射T_i:if→if把基iiB映到基B，这是[3]中关于典范基和Lusztig对称子关系的主定理。我们将给出_if和~if的几何构造，并利用单的反常层实现它们的基_iB和~iB。然后我们将给出T_i:_if→~if的几何构造，并利用这种构造重新证明关于典范基和Lusztig对称子关系的主定理。