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非负二次函数锥规划的可计算性及应用

周晶  
【摘要】:二次约束二次规划问题及其锥重组问题具有相同的最优值,且其锥重组问题是一个非负二次函数锥规划问题,所以如何有效的求解非负二次函数锥规划问题值得人们进行深入的研究。自然而然的,我们需要探讨非负二次函数锥的可计算性。本文列举了在一个椭球区域上的非负二次函数锥(cone of nonnegativequadratic functions),在一个椭球及一个线性不等式区域上的非负二次函数锥和在一个二阶锥区域上的非负二次形式锥(cone of nonnegative quadratic forms)具有线性矩阵不等式表示形式,并且介绍了针对可行域有界及可行域无界的相应问题的覆盖方法。针对非负二次函数锥的一些很好的性质,我们给出了相应的可计算锥松弛问题,继而得到原问题的一个界。为了得到更好的界,我们通过不断的改进可行域的覆盖等手段来改进该锥松弛问题。 本文针对这一思路给出了三类应用实例:线性互补约束二次规划问题,在p阶锥区域上的非负二次形式锥判别问题,0-1二次背包问题。针对问题不同的特点设计不同的覆盖方法,并给出了相应的锥逼近算法。这些算法都可以在理论上证明具有收敛性且数值实验验证了算法的有效性。值得指出的是,为了能够得到原问题更好的界,我们还引入了冗余约束的概念,并可以在数值上说明加入冗余约束可以缩短迭代步数和运算时间。 本文主要的创新点如下: (1)证明了在一个椭球及一个线性不等式区域上的非负二次函数锥及其对偶锥具有线性矩阵不等式表示形式,并据此给出了0-1二次背包问题的一个锥逼近算法; (2)证明了在p阶锥区域上的非负二次形式锥判别问题与一个在p范数约束下的二次规划问题的符号判别问题等价,并据此提供了几类多项式时间判别的条件; (3)对线性互补约束的二次规划这类不严格可行的问题我们给出了覆盖方法及区域分割方法,可以保证相应的锥松弛问题是严格可行的,确保了内点算法的稳定性。这是我们设计该锥逼近算法的难点之所在。


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