有限元线法求解时域问题的研究

【摘要】：延拓Kantorovich法对经典的Kantorovich法作了进一步解析化的延拓,诸多应用实例表明,延拓Kantorovich法具有很多显著的优点,比如精度高、收敛快、任意的初始解以及需要项数较少等等。延拓Kantorovich法在空间域问题上的一系列成功,提示我们把这种方法延伸到求解时间域问题。本文的主要工作是把延拓Kantorovich法与有限元线法结合推广到求解时间域问题,分为如下四个部分: 1. 基于Galerkin加权余量法,提出了Galerkin有限元线法的基本理论和实施方案,求解了非自伴随的微分方程,拓展了传统的基于Ritz法的有限元线法,一系列的数值实验表明,本方法是成功的。 2. 基于Galerkin加权余量法,结合延拓Kantorovich法和有限元线法,求解了非自伴随的时域问题,并进一步求解了非线性时域问题。详细论述了本方法的求解思想并推导了相应的公式,编制了计算程序。数值实验表明,本方法具有很高的计算精度和收敛速度。 3. 基于Gurtin变分原理,结合延拓Kantorovich法与有限元线法,克服了现有研究中单项试探函数的限制,对二维弹性动力学问题采用完备的多项单元试探函数提出了有效的构造迭代方法,使得原有理论和方法得到实质性进展。求解了薄膜强迫振动问题、平面强迫振动问题,中厚板强迫振动问题和中厚扁壳强迫振动问题。数值实验一致表明,多项试探函数具有很好的稳定性和精度。 4. 进一步讨论了两种新的时域问题求解方法,并作了相应公式推导和数值试验,结果表明,这两种方法具有良好的特点,值得进一步深入研究。 本文工作充实并扩展了延拓Kantorovich法、有限元线法的理论和应用范围。数值算例表明,本文提出的方法具有精度高、收敛迅速等明显优点,是值得进一步研究和发展的新型半解析法。