快速多极边界元法在二维弹性力学中的应用

【摘要】：快速多极边界元法是近期发展起来的边界元新型算法。与传统的算法相比,快速多极边界元法可以快速求解边界元形成的线性代数方程组,而存储量又相对少得多,是处理大规模问题的有效工具。对快速多极边界元法的研究是边界元领域的前沿之一。 本文研究了O(NlogN)和O(N)量级的快速多极边界元法并应用于二维弹性静力学问题,对快速多极边界元法的效率进行了数值分析。有以下主要成果。 利用二维复数域的Taylor展开,采用自适应的树结构,推导出新的适合二维弹性静力学的多极展开系数传递格式,形成了O(NlogN)量级的快速多极边界元法。在O(NlogN)量级的快速多极边界元法基础上,推导出新的适合二维弹性静力学的多极展开系数向局部展开系数传递格式和局部展开系数传递格式,形成了O(N)量级的快速多极边界元法。这两种算法的适应范围很广,可以用于二维弹性力学的单域和多域问题的数值模拟。 将快速多极边界元法与传统的求解方法如高斯消去法做了比较分析。验证了快速多极边界元法的精度、计算效率和存储效率。对含有大量随机夹杂的二维复合材料的宏观属性进行了数值模拟。数值实验结果表明,快速多极边界元法能够快速、精确的完成大规模问题的求解。对某些特殊的材料结构,如含有随机夹杂或裂纹的弹性体,快速多极边界元法有独特的优势。 针对快速多极边界元算法的特点,改进了稀疏近似求逆预处理技术。对于某些特殊的材料结构,如含有随机夹杂或裂纹的弹性体,稀疏近似求逆技术还可以很大程度的简化。由于快速多极边界元法基于迭代算法,而边界元法形成的系数矩阵往往病态,所以预处理技术是必不可少的。数值结果表明,改进后的稀疏近似求逆技术有良好的稳定性,在处理大规模问题时仍然能够快速的收敛。