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快速多极边界元法研究及其在复合材料模拟中的应用

王海涛  
【摘要】:边界元法是伴随着有限元法发展起来的一种有效的数值方法。边界离散的优点使边界元法很适合模拟具有复杂边界或者界面的结构,如颗粒增强或纤维增强复合材料。然而,边界元法形成的系数矩阵通常是非对称的满阵,常规求解技术效率低下,使得边界元法不能有效处理大规模问题。 为了克服上述困难,快速多极算法逐步用于加速边界元法的数值求解。在固体力学领域,由于基本解的复杂性,寻找基本解合适的展开和传递格式仍然是目前快速多极边界元法的研究重点。另外,新型算法的研究工作还很有限。 本文提出了一种适用于二维弹性力学问题的初始快速多极边界元格式,将边界元法的存储和计算复杂度都降到O(N)的量级,从而极大提高了计算效率。数值算例表明,在二维问题上,快速多极边界元法在保证精度的前提下,在计算量和存储量上都比常规求解技术有数量级上的减少,从而能够在普通的个人电脑上有效求解大规模问题。 在初始格式的基础上,进一步提出适用于二维弹性力学问题的新型快速多极边界元格式。从理论分析和数值实验上比较了初始和新型两种格式的存储与计算效率的差别。与初始格式相比,新型格式在略微增加存储量的前提下,计算速度又有一定程度的提高。 将二维问题扩展到三维,建立三维弹性力学问题基本解的统一展开格式,从而能够有效处理固体力学中常见的混合边界条件。与二维问题不同,对于一般的求解规模,三维问题的初始算法的求解效率相比常规求解技术改善不明显,而新型算法的求解效率仍然有大幅度的提高。 复合材料在工业领域得到了越来越广泛应用。本文利用快速多极边界元法对二维含有上千个随机分布夹杂的复合材料和三维含有上百个随机分布颗粒或纤维的复合材料进行大规模计算模拟,研究了复合材料的微观结构对宏观属性的影响,与部分经典理论近似解法比较,得到一些有重要参考价值的结论。 总之,快速多极边界元法在大规模计算上的优势使边界元法有了更好的发展空间,在复合材料的模拟研究领域具有广泛的应用前景。


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