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一种新的边界类型无网格法

张见明  
【摘要】:本文综述了无网格数值方法的发展历史和现状,从无网格插值以及积分格式两方面阐述了无网格数值方法的基本原理,并着重介绍了无单元Galerkin法、无网格局部边界积分方程、无网格局部Petrov-Galerkin法和边界点法。在此基础上,提出了一种新的边界类型无网格法——杂交边界点法,并成功地将其实现于二维位势问题、平面弹性静力问题、三维位势问题和三维弹性静力问题的求解。 杂交边界点法将修正变分原理与移动最小二乘法结合起来,涉及三类独立的场变量。对于位势问题,这三个场变量是:域内势函数u、边界上势函数(?)和边界上法向流函数(?);对于弹性力学问题,它们是:域内位移函数u_i、边界位移函数(?)_i和边界面力函数(?)_i。其中,域内场函数用基本解插值,边界上的场函数用移动最小二乘法插值。由于用基本解对域内场函数进行插值,从而使得域内积分能够转换为边界积分。利用修正变分原理,进一步将积分方程限制在一些相互独立的局部子域内,最后得到与各个边界节点相联系的边界局部积分方程。 杂交边界点法利用了移动最小二乘法的无网格特性和无网格局部边界积分方程中的局部化思想,是一种纯无网格法,即:该方法既不需要插值网格,也不需要积分网格,它的输入数据只是求解域边界上的离散分布的点。它可以直接利用CAD造型软件构造的几何模型,前处理过程十分简单。域内未知量的计算也不需要像在边界元法中做的那样,再一次沿边界积分。数值算例表明:该方法不仅计算精度高,而且收敛性好,还可以基于三维弹性理论求解薄型结构。 杂交边界点法是一种具有优良特性的数值方法。与无网格局部边界积分方程和无网格局部Petrov-Galerkin法相比,它将求解问题降低一维,要求输入的结构数据只是求解域边界上的信息;与传统边界元法相比,它是无网格法,它的输入数据只是边界上的离散分布的点;与边界点法相比,它是纯无网格法,无论是插值,还是积分,都不需要任何网格。


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