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曲线曲面造型中几何逼近问题的研究

雍俊海  
【摘要】: CAD/CAM的能力和水平是一个国家自动化程度的标志之一。而曲线曲面造型技术则是CAD/CAM的基础,曲线曲面表示的精确度和造型灵活性是评定CAD系统功能强弱的重要因素。本文以国家863项目“基于线框、曲面、实体、特征表示的产品造型与设计系统GEMS5.0”为背景,研究了曲线曲面造型中的几何逼近问题。主要在如下几个方面取得一些进展。 1.多边形曲线及其优化或近似算法在很多领域具有重要的作用。研究表明二维CIM(圆锥求交算法)方法效率高,而且实现简单,从而在实际应用中非常广泛。本文将其推广到三维情形,解决了三维L_2范式下的LS-WMN问题(线段误差条件下的带权多边形曲线最佳逼近问题)。它的算法时间复杂度为O(n~3),空间复杂度为O(n~-2)。另外,还给出了一种近似算法,它的时间复杂度为O(n~2),空间复杂度为O(n),而且有较好逼近结果。 2.随着CAD/CAM的发展,CNC(计算机数值控制)技术的应用日益广泛。在CNC中,刀具路径通常是由线段和圆弧组成的,而采用G~1圆弧样条作为刀具路径优于采用折线段和一般圆弧样条。G~1圆弧样条的构造方法主要有双圆弧方法和单圆弧方法两种。本文修正了传统双圆弧方法中部分错误公式。对于单圆弧方法,本文给出了二次Bézier曲线的G~1圆弧样条逼近的两种二分算法。其中参数区间上的二分算法所需的圆弧段数比传统方法少,所用的时间也比传统方法短;而且在算法的实现难度上,该算法对Bézier曲线的分割也比以往文献中给出的算法简单。 3.本文提出了广义B差商的概念,在形式上使得B样条曲线的导数公式和Bézier曲线导数公式相一致。在此基础上,本文给出了求B样条曲线导数的新公式,并且首次给出了B样条曲线可精确降阶的充要条件,最后给出了相应的降阶算法。 4.本文对原有α样条曲线的定义式做了改进。按照原定义公式,要具有C~k连续性一般需要(2k+1)次的α样条曲线。按照新的定义公式,(k+1)次α样条曲线就能具有C~k连续性。在此基础上,本文还给出了构造具有C~2连续性、插值性与保单调性的三次α样条曲线的方法。这种方法简单,所需的计算量小。


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