广义非线性Schr（？）dinger方程中孤立波的弱相互作用

【摘要】： 本文主要研究了广义非线性Schro¨dinger方程中两个孤立波的弱相互作用。我们首先演示了对于不同的非线性项这些弱相互作用都存在着相似的对初始条件的分形依赖性,即孤立波的分离速度关于初始相位差的函数图象是分形。为了解释这种现象,我们运用Karpman-Solov’ev的直接摄动方法,推导出描述孤立波参数演化关系的一个普适的动力学方程组,经过变量变换,这个动力学方程组可以表示成为一个具有两个自由度的Hamiltonian系统,这个系统只包含一个参数,这个参数依赖于非线性项的具体形式。当这个参数为正时,这个动力学方程组也存在分形结构,而且这些分形结构与原来波动方程中的分形结构从定性上到定量上都符合很好,因此孤立波弱相互作用中分形结构的普遍存在性就从解析上得到证明。为了更深入的理解分形出现的机制,沿着separatrix轨道运用渐近分析,我们得到一个简单的二阶映射,这个映射描述了动力学方程中动量的变化关系,经过变量变换以后,它不含任何参数,因此对于广义非线性Schro¨dinger方程中孤立波的弱相互作用都是成立的。通过与原来波动方程及其动力学方程中的计算结果比较,我们发现这个映射不但能定性地而且能定量地描述原来波动方程及其的动力学方程中存在的分形结构,这是因为整个推导过程以及最后的映射都是在渐近意义下成立的,这个映射可以完全刻划广义非线性Schro¨dinger方程中孤立波弱相互作用出现的分形结构。通过对这个映射进行深入的分析,我们可以解析地解释广义非线性Schro¨dinger方程中孤立波弱相互作用所有重要的性质,比如分形结构的存在性准则以及这些分形结构的标度律等等。