机会测度及其应用

【摘要】： 模糊性与随机性是现实世界中两种基本不确定性,分别用来描述主观不确定性与客观不确定性,而可信性理论与概率论分别是处理模糊现象与随机现象的数学分支。随着人们对不确定现象了解的日益深入以及对不确定理论研究的日益完善,一些学者开始考虑模糊性与随机性同时出现在复杂系统中的现象。其中,Kwakernaak最早意识到这个问题并在1978年提出用模糊随机变量来描述这种现象。作为另一种模糊性与随机性共存的形式,Liu在2002年定义了随机模糊变量。本质上,模糊随机变量采取的是先随机后模糊的形式,而随机模糊变量采取的是先模糊后随机的形式。然而,在现实问题中,模糊性与随机性往往是无“先”无“后”的,因此,Liu在2007年提出了机会空间与混合变量的概念来描述这种双重不确定现象。 为了建立一套处理混合变量的数学理论,我们必须在机会空间中定义一个测度。本文在可信性测度与概率测度的基础上定义了一个机会测度,并证明了机会测度与可信性测度以及概率测度之间的相容性。即当机会空间退化为可信性空间时,机会测度退化为可信性测度,同时当机会空间退化为概率空间时,机会测度相应的退化为概率测度。进一步,为了方便机会测度的使用,本文证明了机会测度的若干等价形式。最后,作为机会测度的应用,本文讨论了混合变量的机会分布、关键值、期望值、方差、矩、距离、收敛性等概念,初步建立起了同时处理模糊性与随机性的数学理论――机会理论。机会理论与模糊随机理论以及随机模糊理论相比理论上更简单,功能上更强大。 本文的创新点有:(1)定义了机会测度;(2)应用机会测度定义了混合变量的期望值;(3)应用机会测度研究了混合变量的机会分布、关键值、距离、收敛性等。