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基于符号计算的非线性发展方程多种精确解及可积性研究

花艳菲  
【摘要】:非线性发展方程被广泛地应用于描述浅水波、非线性光学、玻色-爱因斯坦凝聚、等离子体等领域中的非线性现象,求解此类方程对解释各种非线性现象有着重要意义。近年来,求解非线性发展方程的精确解已经成为孤子理论研究的热点。随着孤子理论的发展,人们提出了Hirota双线性方法,反散射变换法,黎曼-希尔伯特方法等许多有效的求解手段。在求精确解过程中,常出现大量有规律、重复的计算,借助符号计算,可以提高计算的速度和精准性,便于检验查证。本文基于符号计算,以Hirota双线性方法作为主要研究方法,构造并研究了一个具有代表意义的(2+1)-维广义非线性发展方程,具体研究内容如下:(1)应用Hirota双线性方法,探究该方程的单孤子,双孤子与三孤子解的解析形式。利用软件绘制出单,双及三孤子解的图像,并分析其运动机制;(2)借助双线性方程的线性叠加原理与共振解的性质特征,判断该方程不具有共振解;(3)利用试探函数法,对设定为正二次函数叠加指数函数,或叠加双曲余弦函数的双线性方程解的形式计算求解,分别得到该方程的lump-kink型和lump-soliton型相互作用解的解析式。通过对两种解的表达式的分析,得到相互作用过程的渐近性质,并研究解的速度、极限与极值。基于数值模拟,研究两种相互作用解的运动过程并分析解的作用机制及动力学特征;(4)借助Hirota双线性方法与Bell多项式,得到该方程的贝尔多项式型B?cklund变换。由该变换,得到Lax对,判断出该方程Lax可积。将Lax对做级数展开,导出无穷守恒律,由此得出该方程的可积性质。本文的创新点在于:(1)分析了该方程的孤子解、共振解、lump-kink型相互作用解与lump-soliton型相互作用解的解析形式、渐近性质及动力学特征,展现解的多样性;(2)综合应用Hirota双线性方法、试探函数法、Bell多项式方法等多种方法,探究方程的多种精确解和可积性质;(3)求出的解有实际应用价值,如lump-kink型相互作用解可用于解释浅水波、非线性光学等领域的非线性现象,lump-soliton型相互作用解可用于预测光学怪波、金融怪波等的出现。


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