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曲线的平行标架及其应用

张红宁  
【摘要】:曲线是微分几何研究对象之一。在这篇文章中,我们主要研究曲线的平行标架及其应用。通常我们比较熟悉的是曲线的Frenet标架,曲线的Frenet标架关于参数求导得到的系数矩阵是一个斜对称矩阵。而平行标架关于参数求导,得到的系数矩阵也是一个斜对称矩阵,但除了第一行、第一列元素,其他元素均为零。在R~3中,我们可以固定Frenet标架第一个坐标轴,旋转另外两个坐标轴。只要旋转的角度β满足β′=-τ,其中τ为曲线的挠率,我们就可以得到曲线的平行标架。但是用这种方法只适用建立R~3中曲线的平行标架,用此种方法建立R~4中曲线的平行标架就会很复杂,要想建立R~n中曲线的平行标架就会更复杂。本文介绍了如何用指数矩阵函数的方法建立R~n中曲线的平行标架,用此种方法可以很容易建立任意维数空间中曲线的平行标架。 建立曲线的平行标架的一个应用是可以证明Vortex filament方程和非线性Schrodinger方程表示的是同一个方程。1906年,Leivi-Civita的学生da Rios写了一篇硕士论文,关于漩涡在粘稠液体里以曲率大小的速度沿着副法线的方向运动的模型。很久以后,1971年Hasimoto证明了这个系统和非线性Schrodinger方程 q_t=i(q_(ss)+1/2|q|~2q)是等价的。在这篇文章中我们用参考文献[1]中藤楚莲的思想但是不同的方法,将R~3中Vortex filament方程推广到S~3中,并得到S~3中非线性Schrodinger方程 q=i[q_(ss)+(1/2|q|~2+1)q] 全文共分三章,主要内容安排如下: 第一章:介绍R~3中曲线的平行标架及其应用。 第二章:介绍S~3中曲线的平行标架及其应用。 第三章:介绍R~n中曲线的Frenet标架和平行标架,并对两种建立曲线的平行标架的方法进行比较。


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