张量函数的不变表示及其在弹塑性大变形中的应用

【摘要】： 张量函数及其导数在连续介质力学和计算力学等领域中有着重要的作用。其抽象不变表示，由于脱离了坐标系，使推导过程清晰、表达整齐统一，因而受到了众多力学家的重视。本文系统地研究了对称和非对称各向同性张量函数及其导数的不变表示，并将其应用在弹塑性大变形的理论中。主要工作和取得的进展如下： 1)在张量值函数谱分解表示中，根据特征值的恒等关系引进了新的标量函数，其为特征值和主不变量的函数，具有一般性、容易确定和计算的特点。利用谱分解的方法研究一般的对称各向同性张量值函数导数，给出了其在有各种特征根时以及在不同基底下的不变表示。利用本文的方法，很容易给出Ogden材料应力应变关系的标量响应函数及其弹性模量。 2)研究了一类满足可交换条件的非对称各向同性张量函数及其导数的不变表示。此类张量函数包含张量指数函数、张量幂级数、能够展开为张量幂级数的张量值函数以及能够表示为Dunford-Taylor积分的张量函数，较已有的结果具有一般性。由可交换条件，得到此类张量函数具有与对称各向同性张量值函数相似的抽象表示形式。 3)当自变量张量有三个不同特征根时，分别采用张量方程法和比较分量法研究了此类非对称张量值函数导数的不变表示；当有重根时，采用求极限的方法得到导数的抽象表示。本文同时分析了有一对复特征根情况下，此类非对称张量函数及其导数的不变表示。 4)在初始构形描述下，Simo所提出的基于变形梯度乘积分解的超弹塑性大变形模型将产生非对称二阶张量的特征值问题。本文利用研究非对称张量值函数及其导数的方法研究了连续和算法弹塑性切线模量，给出了其不依赖坐标系的不变表示。 5)利用应力功率的定义和次弹性本构关系，提出一种新方法来研究基于Cauchy应力Green-Naghdi客观率的横观各向同性线性次弹性为超弹性的必要条件。同时，采用此方法研究了横观各向同性Cauchy弹性的可积性问题。