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多元多项式理想复形与同调理论

任颖颖  
【摘要】: 单纯复形是与单项式理想间存在着一一对应的关系,且单纯复形的链复形间的映射是边缘算子,根据这种算子,我们试图给出一种更广泛的微分算子来研究多元多项式理想,并且通过该算子将单项式理想的复形与同调的相关结论推广到多元多项式理想。这种做法有着深远的意义。 本学位论文在多元多项式理想上定义了广义边缘算子,分别证明了该定义的合理性和唯一性,并逐一计算了该算子下的核与像,进而讨论了多元多项式理想的同调群的性质,最后将Koszul复形进行了推广。 本学位论文主要分三个部分,首先分析了理想复形的基本理论,分别介绍了单纯复形与单项式理想,单项式矩阵及Koszul复形的理论,重点论证了广义边缘算子与多元多项式理想复形的同调理论的性质和特征,这一部分是本学位论文的重点。最后,用广义边缘算子对Koszul复形进行了推广。 本学位论文的重要结论有: 定义3.1.1算子D定义如下:对任意的以a_j≠0。定义新的变换D为 其中要求D(k)=0,D(x_i~α)=1,即D是满足线性的算子,故称其为广义边缘算子~([1])。 定理3.1.1与定理3.1.2分别证明了该定义的合理性与唯一性。 定理3.2.2.1对当n=2时,S = k[x] = k[x_1,x_2],广义边缘算子定义下的核与像及同调群分别为: 定理3.2.2.2对S = k[x_1,…, x_n]广义边缘算子定义下的核与像及同调群分别为: 定理3.3.1对S = k[x_1,…, x_n],广义边缘算子定义下的同调群是无限维的。 定理3.3.1.1 D_2作用在S/I = k[x_1,x_2]/x_1,x_2 ~m上时 定理3.3.1.2 D_2作用在k[x_1,x_2]/x_1,x_2 ~m上时 定理3.3.2.1 D_2作用在k[x_1,x_2…, x_n]/x_1,x_2,…, x_n ~2上时 定理3.3.2.2 (?)时,对S= k[x_1,…, x_n],(?),广义边缘算子定义下的同调群ker D_n/Im D_n是(d-2)~n维的同调群。 定理4.1.1 Koszul复形K.是由极大理想m=x_1,x_2,…x_n构成的商模k=S/m的极小自由分解。


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1 任颖颖;多元多项式理想复形与同调理论[D];北京交通大学;2009年
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