李群理论在非线性微分方程可积性中的应用性研究

【摘要】： 本文研究了利用不变流形及单参数李群构造自治系统首次积分的方法:研究了一般三体在伴随李群系与守恒量以及特殊情形下增加的李群与守恒量;研究了利用单参数李群求偏微分方程不变解的方法。研究的主要内容和结果包括以下几个方面: (1)给出了由自治系统的不变流形及不变流形簇构造含时间变量的首次积分的几种构造方法。 (2)给出了三体在一般情形下的伴随李群系与守恒量,并在特殊的力势函数下求出了三体扩展的伴随李群系,进一步利用这个扩展的伴随李群系求出除10个经典守恒外的更多守恒量。 (3)用复域上二元多项式函数的整除定理给出Fisher行波解方程存在代数曲线解时参数满足的充要条件,得到相应的可用初等超越函数表示的有界非平凡行波解,并根据文给出的二阶多项式自治系统的Liouville可积判则,得到了该方程在Liouville意义下可积时参数满足的充要条件。 (4)得到一类非线性波动方程的伴随单参数李群,利用该方程的伴随李群将其约化为多个常微分方程,并进一步在某些特殊参数下求出包括行波解在内的一类新的精确不变解。