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高振荡微分方程的Magnus展开方法

邢淼  
【摘要】: 高振荡微分方程是其解具有高振荡性的一类微分方程,它广泛应用于诸如分子动力学、天体力学、量子化学以及原子物理等方面。因此,研究其数值解法具有重要意义。 对高振荡微分方程给出一种好的数值解法是一件非常困难的事情。近年来,Iserles利用Magnus展开方法详细研究了形如y"+g(t)y=0的线性高振荡微分方程数值解法问题,并给出了计算结果较好的数值算法。 本文介绍了Hamilton方程的性质、辛几何算法、Magnus展开、修正的Magnus展开和Neumann展开方法。主要研究了形如Y'+AY=B(t,Y)Y的高振荡微分方程。首先,利用Picard迭代法推出了线性高振荡方程的修正Neumann展开形式;然后,利用修正的Magnus展开方法给出了形如该式的线性高振荡方程的数值解法。由于构造出的数值解法涉及高振荡函数的积分,我们分别用Filon方法和分段线性插值方法进行计算,给出了两种不同的数值解法。实验显示,这两种方法都可以给出较好的数值结果。最后我们将该方法推广到了求解非线性问题上来,例如将FPU问题变形为上述形式,考虑用修正的Magnus展开方法进行求解。


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