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基于Wielandt方法的Perron-Frobenius理论及其推广

王茗茗  
【摘要】: 代数表示论是上世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支,它的基本内容是研究环与代数的结构。在三十多年的时间里这一理论有了异常迅猛的发展并且趋于完善。 对于正方阵,Perron在1907年首先发现一些谱性质,1908~1912年Frobenius扩大并推广Perron结果到非负矩阵特别到非负不可约矩阵情形。在1973~1975年,对可约矩阵情形的研究也取得令人满意的成果。 对于矩阵谱性质的研究,无论是在理论上还实际上都有其应用价值。在各类矩阵的谱分析,尤其是对于Markov链理论、方程组的求解、偏微分方程(组)数值解的一般理论的应用,一直是科学家十分关心的热门话题。 基于以上成果及其应用价值,文章对矩阵的谱性质及结构进行了一系列的研究及推广。本文内容主要通过介绍非负不可约矩阵(包括正方阵)的Perron-Frobenius理论,并且采用Wielandt的办法推演这一理论(推演这一理论的方法有多种,见文献[5]和文献[6]),得出一般非负方阵的Perron-Frobenius理论的古典结果与它的推广。它的某些推论可以给出谱半径的估计界限以及分析非负不可约矩阵的谱结构,这个在理论上尤其在矩阵迭代分析中有着重要作用。


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