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约化子空间小波标架的构造及性质研究

周凤英  
【摘要】:小波标架理论是小波分析研究的核心问题之一.到目前为止,全空间L2(Rd)(尤其是L2(R))小波标架的研究已取得丰硕成果,然而子空间小波标架的研究是零碎的、不系统的.本文在一般约化子空间的背景下研究小波标架理论. 设A是一个d阶伸缩矩阵.L2(Rd)的一个闭线性子空间X称为其一个约化子空间是指:DX=X,且对任意k∈Zd,TkX=X,其中Df(·)=|det A|1/2f(A·),Tkf(·)=f(·-k)f∈L2(Rd)). 约化子空间是L2(Rd)与Hardy空间的推广.关于Hardy空间中小波标架的研究可追溯到1990年Meyer,1992年Auscher,1993年Seip,1995年Volkmer等人的工作. 本文主要工作如下: 第一章是绪论部分,介绍了研究背景和本文的主要结果. 第二章,我们在约化子空间中引入了标架多分辨率分析(FMRA)的概念,研究了FMRA标架小波的构造.对一般的伸缩矩阵,得到了生成FMRA的标架尺度函数的一些充分条件,并证明了任何约化子空间都容许一个FMRA对行列式绝对值为2的伸缩矩阵,得到了容许单个标架小波的FMRA的一个充分必要条件,给出了FMRA标架小波的明确表达式,并研究了s-标架小波与FMRA标架小波的关系. 第三章,我们在约化子空间中引入了广义多分辨率分析(GMRA)的概念,并基于此研究了Parseval标架小波的构造.对一般伸缩矩阵,建立了构造Parsoval标架小波的酉扩充原则(UEP).特别地,对行列式绝对值为2的伸缩矩阵,得到了Parseval标架小波构造的明确表达式. 第四章,我们在约化子空间中引入了广义多分辨率结构(GMS)的概念.对一般伸缩矩阵,得到了GMS的一个充分必要条件,证明了约化子空间中GMS的存在性,并基于GMS,得到了约化子空间中信号的金字塔分解和类似标架的表示. 第五章,对行列式绝对值为2的伸缩矩阵,我们研究了L2(Rd)上一类紧支撑小波基的构造.我们从一组满足恰当条件的紧支撑细分函数出发,得到了紧支撑小波Riesz基的明确构造,这种构造继承了来源于细分函数的对称性与反对称性. 第六章,我们讨论了约化子空间中的仿射(伪仿射)对偶小波标架,建立了仿射系与伪仿射系之间的一个标架和对偶标架保持定理,并在没有任何衰减性假设的条件下得到了仿射(伪仿射)对偶小波标架在傅里叶域上的一个刻画,也给出了仿射Parseval标架小波在傅里叶域上的刻画. 第七章,对行列式绝对值为2的伸缩矩阵,我们研究了约化子空间中PFW的维数函数刻画.证明了一个PFW是半正交的(半正交MRA的)当且仅当其维数函数取非负整数值(0或1),我们还刻画了MRA PFW.


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