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广义Pareto分布的统计推断

赵旭  
【摘要】:广义Pareto分布(Generalized Pareto Distribution, GPD)最初由Pickands在1975年首次提出,之后很多学者做了进一步研究。作为具有位置、形状和尺度参数的一类特殊分布,目前在诸多领域得到广泛应用,如极值分析、拟合保险损失、气候诊断、可靠性研究及金融风险管理等领域。作为极值理论重要分支的GPD,已成为当今极值理论的研究热点,其原因在于近些年对极值理论的研究,不仅仅考虑最大值或最小值这类极值数据,更多的是选取超过某界限以上的数据进行研究,而某界限以上的数据可用GPD来近似取得。因此,GPD已成为极值理论研究的主流,并得到了广大学者的普遍认可。本论文选题不仅有理论意义,更有实际意义及实用价值。 本文主要研究GPD的统计推断问题,包括三参数GPD的参数估计、假设检验及其在水文统计、金融风险管理及可靠性研究领域的应用。 首先,研究了三参数GPD的参数估计问题。传统估计方法如极大似然估计法、矩法和概率加权矩法虽然已被广泛应用,但在实际使用时存在各种问题或局限,如:极大似然估计的算法可能不收敛;对于矩法和概率加权矩方法,只有形状参数满足一定条件时参数估计才存在;且大多是针对两参数GPD给出的估计方法。另外,已有的估计方法大多是在完全样本条件下给出的,而在水文、气象及金融等应用领域常出现截尾样本,截尾样本的估计方法与完全样本不同。即使有关于截尾样本的参数估计方法,大多也都是对广义极值分布提出的。为解决这些问题,主要提出了矩法、改进的矩法、概率加权矩法、广义偏概率加权矩法、极大似然估计法、最小二乘估计法、近似广义最小二乘估计法、L矩和LH矩法、偏L矩和偏LH矩法。对提出的各种估计方法的优缺点进行总结,并通过Monte Carlo模拟比较各种估计方法的估计精度。 其次,研究了三参数GPD的模型检验问题。对于阈值的选取,选值过大会造成估计量具有较大的方差,选值过小会造成估计量有偏且样本不服从GPD。为了合理选择阈值,给出了图解法和计算法两类方法。图解法包括经验平均超出函数图法和估计量稳定性判别法。而实际中有时不能借助图解法准确地找到阈值,因此给出了基于指数回归模型的计算法选择阈值。对于GPD模型的拟合优度检验,也研究了图检验法和计算法两类方法。图检验法是观察Q-Q散点图上点的线性关系判断样本是否来自GPD。图检验法存在一定的主观性,且得到的结论缺少定量标准,进一步研究了GPD模型检验的计算法,包括相关系数R2检验法、χ2检验法及W2和A2检验法,分别给出了这些计算法的理论依据和检验步骤。另外,对于W2和A2检验法,补充和完善了参数采用概率加权矩估计和偏L矩估计法时得到检验统计量的临界值表。进行模型检验时应将图检验法和计算法这两类方法综合使用。 最后,研究了三参数GPD的应用问题。将本文提出的估计方法和检验方法应用于水文统计和金融风险管理领域,对观测站历年水位数据和上证指数收益率数据进行实证分析,预测最高水位和最大投资损失,并通过模拟比较不同参数估计方法的估计精度和不同模型的拟合效果。另外,研究了GPD在可靠性领域的应用问题。给出了充电系统一次充电可靠性的计算表达式;并模拟系统的实际充电过程,将系统一次充电可靠性的理论值与模拟值进行比较,验证了给出的计算表达式的准确性,为实际应用提供理论依据。


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