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若干函数型模型的假设检验与参数估计

史功明  
【摘要】:随着现代科学技术的发展,越来越多的数据是在一个时间区间内连续的记录,或是以图像的形式存在.这种可看做函数形式的数据常被称为函数型数据.这种数据形式最显著的特征是高维且相邻数据间高度相关,这使得传统的多元统计分析方法不再适合.而函数型数据分析将此类曲线数据看做无穷维空间中的元素进行处理,具有显著的优势.近二十年来,函数型数据分析发展迅速,并被应用于各种各样的学科,包括经济学、气象学、心理学、神经生理学、考古学、犯罪学、生物力学和教育学等.本论文旨在研究若干函数型数据模型的假设检验和参数估计问题.研究的模型包括:函数型线性分位数回归模型、响应变量随机缺失下的函数型线性回归模型、函数型二次分位数回归模型和响应变量删失下的部分函数型线性分位数回归模型.具体来说,本文的研究内容主要包括以下几个方面:(1)对函数型线性分位数回归模型,主要研究模型的假设检验问题.即检验在给定分位数水平下,标量响应与函数型预测量具有线性关系的假定是否正确.首先,基于函数型主成分分析,提出了一个非参数U过程检验统计量.在一定的正则条件下证明了检验统计量在原假设下收敛到正态分布而在固定备择假设下发散到无穷,进而证明了检验统计量在局部备择假设下的渐近性质.进一步,基于Wild自助方法给出实施简便的临界值确定方法.然后通过蒙特卡洛模拟研究,验证了所提检验方法在有限样本下具有良好的表现.最后将所提方法应用到臭氧水平数据集上的分析.(2)对函数型二次分位数回归模型,主要研究模型系数估计与二次项效应检验问题.首先,基于函数型主成分分析方法得到函数系数的估计,并在一定正则条件下给出了估计量的渐近行为.进一步,基于秩得分构造检验统计量来检验模型里非线性项的显著性,并给出了检验统计量在原假设下的渐近分布.最后,通过蒙特卡洛模拟研究与Tecator数据分析展示了所提方法在有限样本下的有效性与实用性.(3)对响应随机缺失下的函数型线性回归模型,主要研究函数型线性回归模型的假设检验问题.首先,结合函数型主成分分析方法和非参数估计技术,提出了一个U过程类型的检验统计量.在一定正则条件下,证明了检验统计量在原假设和局部备择假设下的渐近性质.进一步,为了在实际中更容易地实施检验方法,发展了 Wild自助程序.最后,通过数值模拟和西班牙气象数据集的实例分析验证了所提方法在有限样本下具有良好的表现.(4)对响应变量右删失下的部分函数型线性分位数回归模型,主要研究模型未知系数的估计问题.首先,采用函数型主成分基函数来逼近未知的斜率函数,通过极小化逆概率加权损失函数得到未知系数的估计量.估计方法容易通过加权分位数回归程序实现.在一定的正则条件下,给出了有限维参数估计量的渐近正态性与斜率函数估计量的收敛速度.最后,通过模拟研究与实例分析验证了所提方法的有限样本表现.


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