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球面变换核估计及其一致收敛速度

赵颖  
【摘要】: 本文主要研究多维数据的收敛问题。 设X_1,X_2,…,X_n是取值于R~d空间上的独立同分布随机向量,具有相同的 概率密度函数f(x)。为估计f(x)在点x=(χ_1,…,χ_d)∈R~d的值,文献中通常 采用的是核估计: 其中H是d×d对称正定矩阵,一般文献称其为窗宽矩阵,K_H(x)=|H|~(-1)K(H~(-1/2)x) K是一个核函数,满足∫_(R~d)K(X)dx=1 对于H∈S,其中S={h_n~2:h_n>0},上述定义可简化为: 本文并未直接采用上述核估计法来讨论多维密度估计问题,而采用了一种较 为独特的方法来研究。此方法要旨如下: 我们取一半径为R_n的球,半径R_n待定,使得X_1,X_2,…,X_n被包含在这 个球内,即需要半径R_n满足,同时再将这组数据 变换到单位球面上。具体变换如下: 设 其中 因此 即Y_1~((n)),Y_2~((n)),…,Y_n~((n))为单位球面上的数据。 此时R~d空间中的数据X_1,X_2,…,X_n变换为球面数据Y_1~((n)),…,Y_n~((n))。这 里需要注意一点的是原来d维数据经变换得到的是d+1维球面数据。 这样,我们就可以利用球面数据密度函数核估计(Hall,Watson&Cabrera(19 87),Bai,Rao&Zhao(1988))来给出多维密度函数f(x)的估计,由于这个估计是 借助于球面数据坐标变换得到的,我们不妨将其定义为球面变换核估计。然后利 北京工业大学硕士论文3 用球面数据密度函数核估计的结论及其所研究的方法,我们给出了球面变换核估 计的一致收敛速度,而这个收敛速度的快慢又取决于被估计密度函数fkx)的尾 部性态.主要结论如下: (i)假设 fkx)、核 K及窗宽 hn满足一定条件惨见定理 2.3.1),我们得到了 n、Mboll.一一一一二巴L二2上一一一一1。: IG_。,,。/一一二一一、5日河飞“一了下了n习7用的F于m川r/_\.灯、I/。。、。平 且lin 8*0且——且“宇“““lp厂守“)”p是‘”卡“)1“Dh【川 一 了I义且D\***盯 t-+OO ill ill ti (n)进一步假设 f*x)、核 K及窗宽 h。满足给定条件渗见定理 2.3.2),我 们得到了 (----l_ lilllsllD=!uIW----llnk)一厂(X)I<COflst 。-co (if n】下F下了


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