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极小极大定理与变分包含

张清邦  
【摘要】: 极小极大理论是非线性分析中的一个重要研究内容。它已广泛的应用于博弈论,数量经济学,最优化理论,变分不等式理论,微分方程,不动点理论等诸多领域。在本文中,我们将利用不动点定理把一些经典的极小极大定理进行推广,讨论定义在FC-空间上的两个函数的极小极大定理和定义在G-凸空间上的集值映射的广义极小极大定理;然后讨论与极小极大定理有着紧密联系的广义变分包含解的存在性及非扩张映射和伪压缩映射的不动点问题。 在第2章中,我们将把一些经典的极小极大定理推广到定义在FC-空间上的两个函数和定义在G-凸空间上的集值映射的情形。一方面,利用极大元存在定理讨论定义在非紧的FC-乘积空间上的一族集值映射的聚合不动点定理,引入关于两个函数的F-g-拟凸性(F-g-拟凹性)概念,利用得到的不动点定理去证明两个函数的极小极大定理。另一方面,引入集值映射的广义弱松弛鞍点和广义松弛鞍点的概念,在局部G-凸空间中利用已知的不动点定理和数量化方法去讨论广义弱松弛鞍点和广义松弛鞍点的存在性,并给出鞍点存在性定理的应用。 在第3章中,我们将拓展预解算子技巧,并利用该技巧讨论两类广义非线性变分包含解的存在性,改进并推广一些已知的广义非线性变分包含解的存在性定理。首先在Hilbert空间中引入G-η-单调映射的概念,讨论该映射的性质和涉及该映射的一类广义隐似变分包含的解的存在性,构造逼近这类广义隐似变分包含解的迭代算法并证明所构造的迭代序列的强收敛性。其次,在Banach空间中引入g-η-增生映射这一类映射,讨论该类映射的性质,推广相伴于m-增生算子的预解算子,构造逼近涉及该类映射的一类广义隐似变分包含解的迭代算法,并在q-一致光滑Banach空间中证明所给算法的强收敛性。 在第4章中,我们将构造迭代序列去逼近非扩张非自映射和伪压缩映射的不动点,并证明迭代序列收敛性,推广和改进一些已知结果。首先在一致凸的实Banach空间中给出关于两个非扩张非自映射的公共不动点的具有误差的Mann迭代逼近,并在较弱的假设条件下证明所构造的迭代序列强收敛于所考虑的两个映射的公共不动点。其次,引入修正Ishikawa迭代序列去逼近定义在Hilbert空间中闭凸子集上的有限族Lipschitz伪压缩映射的公共不动点,并证明这个序列强收于这族映射的公共不动点。


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