图中2-因子、超欧拉性及拓扑指标等问题的研究

【摘要】：本文主要研究图论中与超欧拉性质、2-因子及拓扑指标相关的一些问题,包括超欧拉问题,无爪图2-因子的存在性和分支个数问题,以及与度和距离有关的若干拓扑指标的极值问题.全文共分为八章. 第一章概述图的超欧拉,2-因子以及拓扑指标理论的发展和国内外有关此类问题的研究现状,并简单介绍本论文的结构、研究内容和主要结果,以及一些符号和术语. 第二章研究了超欧拉问题,给出了2-边连通且边独立数不超过2的简单图可折叠的一个刻画,推广了[H.-J.Lai,H.Yan,Supereulerian graphs and matchings[J].Appl. Math.Lett.24(2011)1867-1869]中的一个主要结果.并且证明了上述文献中提出的 个猜想：3-边连通且边独立数不超过5的简单图是超欧拉的当且仅当它不可收缩成Petersen图. 第三章研究了无爪图的2-因子存在性问题.我们首次提出了保证在一个图的线图中(不)存在2-因子的图的两种运算.通过利用这两种运算,给出了图的线图有2-因子的 个刻画.然后依据此刻画,我们给出了无爪图存在2-因子的一个充分条件,所得结果推广了之前的两个结果且是最好可能的. 第四章研究了具有局部不连通顶点的无爪图的2-因子的存在性问题.我们证明了：如果一个阶至少是3的连通无爪图G满足下面两个条件：(1)每个度至少为3的局部不连通的顶点在一个长度至少为4的导出圈C上,且存在某个非负整数s,使得C至多有s条在三角形上的边和至少s—5个局部连通的顶点；(2)每个度为2的局部不连通的顶点在一个导出圈C上,且存在某个非负整数s,使得C至多有s条在三角形上的边和至少s—3个局部连通的顶点使得G[V(C)∩V2(G)]是路或圈,那么G有一个2-因子.本章得到的结果是最好可能的且推广了之前的一个结果. 第五章研究了几何-算术指标问题.定义了一类新的几何-算术指标,称为κ-普通几何-算术指标.研究了其基本的数学性质,且讨论了它与已有的几何-算术指标GA在物理化学性质方面的区别和联系. 第六章研究了多联骨牌链的一般和-连通性指标,给出了其精确计算公式且确定了极值图,推广了Z.Yarahmadi,A.Ashrafi.S.Moradi,Extremal polyomino chains withrespect to Zagreb indices[J].Appl.Math.Lett.25(2012)166-171中的一个主要结果. 第七章研究了两个图的F-和的度距离,并且建立了与两个个体图的其他指标相关的两个图F-和的度距离的两个上界. 第八章我们给出与本文内容相关的一些尚未解决的问题.