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一些非线性发展方程精确解的研究

张伟东  
【摘要】: 非线性发展方程在很多领域都有很重要的作用,对这类方程的求解是一个热门的研究课题,当今国际与国内有很多的学者在从事这方面的研究。对各种线性偏微分方程的求解,如波动方程、热传导方程、位势方程、麦克斯威电磁场方程等,已经有了有效的解决方法。但是,由于非线性理论极为复杂,对于非线性方程的求解还很困难,而叠加原理对此不成立,傅立叶级数展开、拉普拉斯变换而又都不适用,所以一般只能用数值方法求解。对于非线性偏微分方程一般很难求得方程的精确解,而且目前这方面的研究还不是很多。因此研究此类非线性方程的求解很有必要。 本文正是以非线性发展方程的行波解为基础,探讨了几种重要的求解精确解的方法,并求出一些新的非线性发展方程的孤立波解和精确解。具体主要完成了以下两方面的工作: 一、分析比较了sine-cosine方法、扩展的sine-cosine方法的优缺点,并应用扩展的sine-cosine方法研究了如下几个非线性发展方程:Klein-Gordon型方程、RLW型方程、Boussinesq型方程、KdV方程的第一种变化型、KdV方程的第二种变化型、KdV方程的第三种变化型、以及KdV方程的第四种变化型。本文运用扩展的sine-cosine方法成功的得出了它们的紧孤立子解,所得的解不仅囊括了一些已知的解,而且还包含一些新的精确解。 二、分析比较了sine-cosine方法和tanh方法的优缺点,并应用tanh方法求解了如下几个非线性发展方程:Boussinesq型方程、修正的Boussinesq方程组、5阶的Boussinesq、多孔介质方程以及Fisher方程。之所以选择这几个方程,是因为目前对这几个方程的研究和求解还没有后者比较少,所以十分有意义。本文运用tanh方法,通过一些必要的变换以及利用数学软件的辅助计算来处理复杂的代数运算,不仅首次得到了许多新的精确解,而且还将所能求解方程的范围推广到了更高阶。


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