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基于符号计算的(2+1)维Zakharov-Kuznetsov方程和耦合非线性波方程的可积性质和孤子解研究

屈启兴  
【摘要】:非线性科学是近代科学发展的一个标志。其中,孤子作为非线性科学的一个分支,已经应用于数学、流体力学、等离子体、非线性光学等领域里。孤子解是非线性偏微分方程的一类特殊解。如果非线性偏微分方程能够描述某种物理过程,那么其相应的孤子解也具有确定的物理意义,比如能量在空间给定区域稳定存在且相互作用后不改变各自特性。与此同时,随着孤子理论的发展,一些解析方法也被用来研究非线性偏微分方程的解析解及方程本身的可积性质如Backlund变换、非线性叠加、Lax对等。这些解析方法包括反散射方法、Backlund变换法、Darboux变换法、Hirota直接法、Wronski行列式技术和Painleve分析等。符号计算软件为非线性偏微分方程的解析研究工作提供了现代化的工具。 本文借助于计算机符号计算及Hirota直接法、Painleve分析和Wronski行列式技术来研究双芯光纤中耦合非线性波方程和等离子体中(2+1)维Zakharov-Kuznetsov (ZK)方程的孤子解、Wronski行列式解、Backlund变换、Painleve'性质和Lax对,并给出一些解析解的意义分析。研究内容安排如下: 第一章首先介绍孤子的发展史及其研究现状,接着介绍几种常用的研究孤子的方法——Painleve分析方法、Hirota直接法和Wronski行列式技术。 第二章通过选取因变量变换来构造电子-正电子-离子等离子体中(2+1)维常系数ZK方程的双线性形式。进而利用小参数展开法求得了单双孤子解并图形分析了孤子间的相互作用。同时,通过参数分析讨论了速度、密度比率、旋转频率和回旋频率对孤子振幅和宽度的影响。 第三章用Hirota直接法来构造电子-正电子-离子等离子体中(2+1)维常系数ZK方程的双线性形式。然后求得了方程的N孤子解及双线性形式的Backlunc变换。最后借助于Wronski技术求得它的Wronski行列式解。此外利用Wronski行列式的性质和Laplace定理进行验证,证明解的正确性。 第四章对等离子体中(2+1)维变系数ZK方程为研究对象。首先利用Painleve分析方法检验出该方程不具有Painleve可积性。然后用Hirota直接法推导出方程的双线性形式,进而利用小参数展开法求得方程的多孤子解,并通过图形对孤子之间的相互作用进行分析。通过选取适当的参数,得到两类的相互作用的方式。一种是类似追赶型的相互作用,但与追赶型有区别的是相互作用后振幅大的孤子往相反方向运动;另一种是相向型相互作用。相互作用后仍保持原来的速度和振幅不变。 第五章的工作是关于双芯光纤中耦合非线性波方程及Caudrey-Dodd-Gibbon(CDG)方程的解析研究与符号计算。推导出耦合非线性波方程和CDG方程的双线性形式的Backlund变换和Lax对。


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