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基于符号计算的非线性发展方程的求解和孤子运动的研究

孙鲲  
【摘要】:在过去的十几年中,非线性发展方程的研究被应用于许多领域,例如流体力学、等离子体物理、非线性光学、凝聚态物理、生物学等。而孤子由于其具有良好的物理性质也因此渐渐引起了人们的兴趣。如何求解非线性发展方程中的孤子解成为人们日益关心的问题。至今为止,能够求得非线性偏微分方程孤子解的方法有齐次平衡法,达布变换法,Backlund变换法,Hirota方法等等。其中,Hirota双线性方法自产生以来,被应用于各类非线性发展方程的求解,并且被证明是一种直接和有效的方法。 本文正是以非线性发展方程的理论为基础,并借助计算机符号计算利用Hirota双线性方法的思想研究了几个非线性发展方程,获得其孤子解,并进一步分析了其孤子的运动情况。 本文的内容安排如下: 第一章首先介绍孤子的发展史和孤子理论的研究现状,接着介绍几种常用的研究孤子的方法,其中着重介绍Hirota双线性方法的基本理论。 第二章研究了(2+1)维色散长波方程,利用广义的贝尔多项式法获得其双线性形式,构造出其N孤子解,并且获得局域解和孤子裂变聚变的现象,最后构造了其自Backlund变换。 第三章研究了带有谐势阱和时变原子间相互作用的Bose-Einstein凝聚体中的孤子运动情况和孤子相互作用情形,获得了Gross-Pitaevskii (GP)方程的N孤子解,研究了谐势阱对孤子运动的影响,并证明了孤子间的相互作用是弹性的。 第四章研究了带时变参数的Bose-Einstein凝聚体中孤子运动情况和孤子相互作用情形,构造出其N孤子解,基于解分析了时变参数对孤子运动的影响。 第五章研究了(2+1)维广义的Kaup方程,获得其双线性形式,构造出N孤子解,绘出其解的图像,分析了孤子运动情况,并且构造出其自Backlund变换。 第六章研究了(2+1)维Boussinesq族非线性长波方程,构造出其N孤子解,并对单孤子、双孤子和三孤子的运动情形加以分析,获得了弹性的孤子碰撞。 最后对本文的工作进行了总结。


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