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基于符号计算的若干非线性模型可积性质及孤子解的研究

郭睿  
【摘要】:非线性科学是新兴的学科,它是研究世界上非线性现象的一门交叉学科。由于现实世界中大部分现象与模型都是非线性的,因此非线性科学越来越引起了人们的研究兴趣。孤子理论作为非线性科学的一个重要分支,近年来得到了人们的广泛重视,也取得了很多研究成果。孤子理论的发展是与非线性偏微分方程密不可分的,而对于非线性偏微分方程的求解往往又是比较复杂和困难的。随着计算机技术的迅速发展,计算机符号计算已经广泛被应用于各个自然科学与工程领域。借助于计算机符号计算,求解非线性偏微分方程就变的相对简单。本论文的主要内容就是基于计算机符号计算来对若干非线性模型可积性质,孤子解以及孤子的动力学机制进行分析。 本文的主要内容如下: (一)研究了光纤通信中描述超短脉冲传播的约化Maxwell-Bloch模型。基于计算机符号计算,求得了该模型的多孤子解析解,利用渐进分析方法,理论上论证了孤子的弹性碰撞特征。通过图形的描绘,分析了孤子的周期传播特点。 (二)研究了光纤通信中描述超短脉冲传播的常系数以及变系数推广的约化Maxwell-Bloch模型。首先研究了常系数模型,利用符号计算论证了模型的Lax可积性,并求得了无穷多守恒律,构建了该模型的高次Darboux变换,并在此基础上求得了模型的多孤子解,并发现孤子解在合适参数的选择下,会出现孤子复合现象。其次研究了变系数模型,一般来讲变系数模型往往是不可积的,利用符号计算,求得了该变系数模型Painleve可积以及Lax可积的条件,在这些条件下,求得了模型的多孤子解,并发现在合适参数的选取下,孤子会出现分解现象。 (三)研究了光纤通信中描述掺饵光纤中脉冲传播的变系数Schrodinger-Maxwell-Bloch模型。该模型也是变系数模型,在符号计算的辅助下,推导出了该模型可积时各个变系数应满足的约束条件。对于该模型,本文分别构建了一次以及N次Darboux变换,并求得了多孤子解析解。另外,分三种情况分析了孤子的动力学机制。 (四)从常系数和变系数两方面研究了流体力学中一类非线性模型。对于常系数模型,首先进行了调制不稳定性分析,得到了调制不稳定性条件,对于可积性也进行了分析,并构建了N次Darboux变换,求得了多孤子解,发现该模型存在束缚孤子解。对于变系数模型,利用符号计算,得到了模型可积的约束条件,求得了孤子解,利用图形分析了各参数对孤子传播特点的影响。 本文研究的非线性模型在光纤通信,流体力学等领域中有着很重要的物理意义和比较广泛的实用价值。作者希望本文中所介绍的基于计算机符号计算求解非线性偏微分方程的方法,以及对孤子动力学特征的分析结果能够给现实世界中的光纤通信,流体力学以及物理学等领域的研究带来有益的帮助。


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