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若干非线性发展方程的孤子可积性研究

闫天中  
【摘要】:非线性发展方程可以描述生物、等离子体物理和流体力学等领域的复杂现象。特别的,由于非线性发展方程的可积性质如孤子解在解释复杂现象的作用而倍受关注。随着符号计算的发展,目前有一些比较常用的非线性发展方程的解析方法,如Hirota双线性方法、Bell多项式方法、Wronskian行列式和Backlund变换。基于符号计算,本论文研究了若干非线性发展方程。本文的工作主要有如下三个方面: (1)本部分研究的是Kadomtsov-Petviashvili-Benjamin-Bona-Mah ony (KP-BBM)方程,该模型描述的是在均匀预应力下可压缩超弹性板的变形。借助于Hirota双线性方法和计算机符号计算,我们得到了KP-BBM方程的双线性形式和N-孤子解。而通过Bell多项式方法,我们得到了KP-BBM方程的Backlund变换。基于KP-BBM方程的双线性形式和Backlund变换,我们给出了它的Wronskian行列式解。与此同时,我们通过图像分析和计算讨论了KP-BBM方程孤子解的传播特点以及孤子之间的相互作用。我们用极限分析的办法详细的研究了两个孤子之间的相互作用,发现两个钟形孤子碰撞是完全弹性的。 (2)由于Hirota双线性方法在求非线性发展方程的Backlund变换要用到交换公式,这在一些方程中是不容易找到的。为避免用交换公式,在这部分我们用Bell多项式方法来得到方程的Backlund变换以及Lax对。以变系数的Boussinesq方程和mKdV方程为例,我们给出了这两个方程的Bell多项式表达式和Bell多项式类型的Backlund变换。由于Bell多项式方法和Hirota双线性方法的关系,我们可以将这两种形式分别转换为双线性形式和双线性类型的Backlund变换。进一步地,通过线性化Bell多项式类型的Backlund变换,我们给出了方程对应的反散射方程和Lax对。 (3)这部分研究的是带有边界效应的Sawada-Kotera方程,该方程在b=0时可以退化为经典的KdV方程以及在α=0时可以退化为一般的Sawada-Kotera方程。因此它描述的模型比KdV方程更复杂。通过使用Bell多项式方法,Hirota双线性方法以及计算机符号计算,得到了该方程的双线性形式和N-孤子解。同时,通过图像分析和计算讨论了该带有边界效应的Sawada-Kotera方程的孤子解的传播特点以及孤子之间的相互作用,分别得到了孤子之间是完全弹性和完全非弹性碰撞两种情况。借助于Bell多项式方法,得到了该方程的Bell多项式类型和双线性类型的Backlund变换。在方程的Bell多项式类型Backlund变换的基础上,得到了带有边界效应的Sawada-Kotera方程的Lax对和无穷守恒律。


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