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机构运动分析的几何代数新方法研究

张忠海  
【摘要】:机构运动分析在机械设计中具有重要作用:一方面,机构运动学正解为机械设计完成后的机构性能进行验证,验证是否满足设计要求;另一方面,机构运动学反解为机械控制提供控制程序。几何代数方法是机构运动学分析的重要方法,目前仍然具有巨大的研究潜力,传统机构和新类型机构运动学分析的几何代数方法,都有待深入研究。所以本论文提出了机构运动学分析的几何代数方法研究的课题,一方面研究传统串联和并联机构运动学分析的几何代数新方法,另一方面研究球面机构和变胞机构等新类型机构运动分析的几何代数方法。主要研究内容和创新成果如下: (1)研究并提出了串联机构运动学分析的几何代数新方法—D-H四元数变换方法。给出了点映射的四元数描述方法和相邻连杆间运动的D-H四元数变换方法。建立了运动学分析的D-H四元数变换的矩阵演算方法,构造出了机器人机构学中经典的D-H齐次矩阵。证明了D-H四元数变换方法与D-H齐次变换矩阵方法的运动学分析结果是一致的,从而从理论上证明了D-H四元数变换方法的正确性。在相邻连杆运动的D-H四元数变换公式基础上进一步推广,给出了任意个连杆串联机构运动学分析的D-H四元数变换方法。串联机构的逆运动学分析是机构学中的难点问题,本论文将D-H四元数运动学方程式分离为位置和姿态2个方程式,这2个方程式可构造出含有7个方程的方程组,使方程数量满足了4R以上串联机构运动学反解的要求。为了降低方程组的求解难度,采用取姿态方程中三角函数的一半组成新的姿态方程的方法,将方程次数降低为原来的一半。通过正运动学分析和逆运动学分析的实例,验证了所提出方法的正确性和有效性。所提出的串联机构运动学分析的D-H四元数变换新方法,不但避免了复杂的矩阵运算,而且运动学方程较矩阵方法有所减少,同时也具有步骤清晰、容易通过数学机械化实现、几何意义明确和计算简单的优势,是一种正确且有效的串联机构运动学分析的新方法。 (2)研究并提出了并联机构运动学分析的共形几何代数新方法。首先,给出了平面并联机构运动学分析的共形几何代数建模方法,并给出了一种改进的Sylvester结式消元法,即冗余因子消去法,克服了结式消元法容易产生增根的不足,能够得出非线性方程组的准确解。然后,提出了空间并联机构运动学分析的共形几何代数分析方法,这种方法集几何表示和运算为一体,只通过共形几何代数的描述和运算即可建立运动学分析模型,不需要复杂的矩阵运算。 (3)研究并提出了球面机构运动分析的几何代数方法。首先,研究了球面并联机构运动分析的几何代数方法,给出了建立球面并联机构运动分析数学模型的四元数和球面几何方法,并且给出了将数学模型消元简化的方法,解决了球面并联机构运动分析的建模复杂、表示动平台位姿的直接变量求解困难等难点问题。然后,研究了球面剪叉可展机构运动分析的几何代数方法,基于螺旋理论分析了由任意个球面剪叉单元和任意个支链构成的球面剪叉可展机构的自由度特性,并基于球面几何学理论对球面剪叉可展机构进行了运动分析,编制了运动分析软件,实现了对这类机构运动的自动分析计算。基于本论文所提出的方法可揭示球面剪叉可展机构的运动特性,为设计出满足一定运动特性要求的一系列的球面剪叉可展机构产品提供了理论基础。 (4)研究并提出了变胞机构运动分析的几何代数方法。首先,研究了变胞机构运动特性分析方法,提出了李群李代数和旋量代数两种分析方法。然后,研究了变胞机构运动学分析方法,提出了并联变胞机构运动学分析的几何代数方法。变胞机构的特殊之处是构态可变,以动平台上的坐标原点描述动平台的位置,以欧拉角描述动平台的姿态,给出了动平台上任意一点在定坐标系中位置的四元数表达式,进而提出了一种建立并联变胞机构运动学分析的统一数学模型的方法。所提出的并联变胞机构运动学分析的几何代数方法,可对并联变胞机构在不同构态时进行正运动学和逆运动学分析。 本论文研究了机构运动分析的几何代数新方法,提出了串联机构运动学分析的D-H四元数变换新方法,并提出了并联机构运动学分析的共形几何代数新方法,也提出了球面机构和变胞机构运动分析的几何代数方法。所提出的机构运动分析方法,不但具有几何表示与代数运算为一体、几何意义明确、计算简单且易于采用数学机械化实现等优势,而且经过验证是正确和有效的方法。本论文所提出的机构运动分析的几何代数新方法,丰富和发展了机构运动学理论。


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