布尔函数若干问题的研究

【摘要】：对称密码体制中的许多问题，如分组密码中的S-盒及常见的基于线性移位寄存器的流密码中的滤波函数和非线性组合函数，它们的研究都可以归结为布尔函数的研究。同时这些问题和编码理论、组合设计及序列设计中许多问题的研究是等价的，并有着重要的应用背景。本文就对布尔函数的如下几个方面进行了深入的研究，包括几乎弹性函数的性质和构造；bent函数的迹表示及其在广义bent序列构造中的应用；bent序列的迹表示；一般有限域上多值逻辑函数的频谱的性质及应用研究；一般有限域上广义bent函数和完全非线性函数的关系等。得到了如下一些研究结果： 1．刻画了几乎弹性函数及其分量函数的关系，并给出一些几乎弹性函数的具体构造方法。给出了几乎(n，1，k)弹性函数的频谱刻画，进而可以通过计算和分析Walsh谱来研究几乎(n，1，k)弹性函数的构造和性质； 2．对bent函数迹表示进行了详细研究，总结了已有的关于bent函数迹表示的结果，进一步地，本文给出了一些二次bent函数的迹表示，并利用这些bent函数构造了新的广义bent序列； 3．对构造bent序列的主要组成部分——线性满射进行了深入研究，刻画了所有满足条件的线性满射，并指出了广义bent序列和bent序列的等价性，阐明了广义bent序列较之bent序列有更简单表示的原因； 4．提出新的一般有限域上多值逻辑函数的线性谱的定义，并简化了两类谱的关系。进一步地，对一般有限域上多值逻辑函数的线性结构进行了分类，分析了它和退化性的关系； 5．从研究的一致性出发，考虑了一般有限域上的广义bent函数和完全非线性函数的关系，并考察了完全非线性函数和它的分量函数谱值的对应关系。