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非线性发展方程和孤波解的研究

张冬华  
【摘要】: 随着非线性科学的发展,出现了大量的非线性发展方程,在不同的物理背景下起着重要的作用。为了探索这些方程在应用中的价值,求解出各种非线性演化方程或方程组的精确解是非线性科学中一个很重要的课题。虽然这一个比较热门的课题,科学家们已经做了大量的工作,给出了很多方程的精确解,也得到一些很有效的解法,但都是针对某个方程或一类方程,目前还没有系统的,统一的解法。正因为如此,使得非线性发展方程仍有很大的研究价值,很多科学家一直活跃于这一领域。而孤波解就是非线性发展方程很有意义的一类解,这是因为它在很多学科都有着重要的应用。本文正是以非线性微分方程的孤波理论为基础,探讨几种重要的求解精确解的方法,并求出一些新的非线性发展方程的单孤波解以及多孤波解。 本文章节及内容安排如下: 第一章介绍了非线性发展方程的理论背景发展现状,以及孤子概念的产生,孤子理论在各先进学科的重要应用。在此基础上介绍了非线性发展方程的孤波解理论基础及孤子性质。 第二章研究了相似变换求解非线性发展方程的理论思想,通过相似变换可使高阶或高维的非线性发展方程降阶或降维,变为低阶的或低维的偏微分或常微分方程,便于求解。经典李群法,非经典李群法以及C-K法,都属于相似变换,重点介绍了C-K法并对这几种方法进行了比较。最后用C-K法约化五阶色散方程为常微分方程。 第三章研究了变系数均衡作用法求解非线性发展方程的理论思想,以及这种方法的重要作用。通过均衡作用法能得到很多具有物理背景的非线性演化方程的精确解,还可以获得Backlund变换,而且已经可以用它来寻找非线性发展方程的相似约化,以及多孤子解等。最后用变系数均衡作用法求得变系数Huxley方程的新的精确解。 第四章是本文研究的重点。双线性变换法是70年代由Hirota发展起来的又一种求解非线性发展方程的精确求解法,通过把非线性方程化为算子形式的双线性形式来求解方程,它把复杂的微分方程用简洁的双线性算子形式来表示,用这种方法可以求出非线性发展方程的孤子解也可用来寻找Backlund变换,lax对等等。本章研究了Hirota方法的理论背景介绍了双线性算子的定义,最后用Hirota方法求出了Cadrey—Dldd—Gibbon Kaeada方程的单孤子及多孤子解。 第五章研究了对非线性发展方程可积性检验方法.即Painleve假设。介绍了奇点和Painleve性质以及Painleve ODE,PDE检测。并对第二章用C-K法将五阶色散方程约化出来的常微分方程的性质进行了Painleve ODE检测。


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