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基于双线性方法的非线性发展方程的求解

张欢  
【摘要】: 过去几十年,非线性发展方程被广泛应用于流体力学、等离子体物理、非线性光学、凝聚态物理、生物学等领域。近来,高维非线性发展方程引起了人们的重视。与此同时,产生了各种非线性发展方程的求解方法,比如:反散射方法、Painlev(?)分析方法和Hirota双线性方法等。其中,Hirota双线性方法自产生以来,被广泛地应用于各类非线性发展方程的求解,并且被证明是一种非常有效和实用的方法。本论文正是以Hirota双线性方法的理论为基础,利用符号计算,求得了(2+1)-维Boussinesq方程的周期解。 本文章节及内容安排如下: 第一章首先介绍了非线性发展方程各类解析解之一的孤子解的相关知识,包括孤立子历史回顾及其发展现状、孤子解的常用构造方法。 第二章Hirota双线性方法基础。首先介绍了双线性导数的基本性质,接着列举了双线性化各类非线性发展方程时常用的三种变换,并通过具体的方程给出详细的步骤。最后,总结了上述三种变换的主要求法。 第三章研究了在Hirota双线性方法中占有重要位置的双线性形式的B(a|¨)cklund变换,并给出了相应的非线性叠加公式的求法。 第四章双线性方程的求解,是本文的重点。首先通过两种方法求得了双线性方程的孤子解,即:直接对双线性方程利用小参数法求解和通过B(a|¨)cklund变换关系式求解。然后,借助θ-函数,利用双线性算子的性质,求得了(2+1)-维Boussinesq方程的周期解,包括:1-周期解及2-周期解。最后,通过参数约束,将所求周期解约化为相应的孤子解。


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