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非线性发展方程求解方法的研究

朱祥翠  
【摘要】: 随着非线性科学的发展,出现了大量的非线性发展方程,在不同的物理背景下起着重要的作用。非线性发展方程的精确求解及其解法研究作为非线性科学中的前沿研究课题和热点问题,极具挑战性。 求出非线性发展方程的精确解是讨论非线性发展方程问题的首要任务。但由于非线性发展方程本身的复杂性,至今仍没有求解这类方程的统一的有效解法。虽然已经求出很多非线性发展方程的精确解,但是求解方法也是各有技巧,有大量的发展方程无法求出精确解。因此为了给数值计算等方法提供理论依据,讨论非线性发展方程的解可能具有的性质,在不求解方程的情况下,直接研究发展方程解的特性也成为人们研究发展方程问题的一个有效途径。 已经发现并取得相当成果的求解发展方程精确解的方法有:齐次平衡法、Tanh函数法、Backlund变换法、反演散射方法、达布(Darboux)变换法、Hirota双线性方法、相似约化法,以及在2002年,由冯兆生在研究Burgers-KdV方程的精确解时提出的首次积分法等等,其中首次积分法基于除法定理和Hilbert零点定理的一种求方程精确解的有效方法。 本硕士论文以发展方程理论为基础,以上述方法和原理为手段,借助于计算机符号计算系统,完成了以下五个方面的工作: 一、利用双曲正切函数(?)tanh(ξ)~i展开法,借助于符号计算软件Maple,获得了非线性Aceive耗散色散方程:u_t + uu_x + u_(xx) + pu_(xxx) + u_(xxxx) = 0的36组行波解,这种方法也适用于其它非线性波方程; 二、利用叠加法简洁地求得了非线性Aceive耗散色散方程:u_t + uu_x + u_(xx) + pu_(xxx) + u_(xxxx) = 0的解; 三、运用检验Painleve性质的WTC算法,研究了Painleve检验在Hirota双线性中的应用; 四、利用首次积分法求解了(2+1)维Burgers方程,得到了一些精确解; 五、证明了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件,并举例对一些具体的黎卡提方程进行求解。 本文的工作具有较大的理论意义和应用价值。其中以上述第一部分内容为基础的学术论文《Aceive耗散色散方程的精确解》已发表在《佳木斯大学学报》2008年第3期上,以第五部分为基础的学术论文《黎卡提方程的初等解法》已发表在《徐州师范大学学报》2008年第26卷上。


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