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不同耦合模式下混沌系统的同步研究

陈月华  
【摘要】: 本文主要讨论了不同耦合模式下混沌系统中的相同步、完全同步、反向同步、振幅死亡、时空同步及复杂网络上的混沌同步等问题。一方面,寻找不同耦合模式下丰富的动力学行为;另一方面,试图去揭示这些现象的本质。 本文的主要内容如下: 第一章为绪论,介绍了非线性混沌动力学系统的基础知识,比如介绍了几种典型的混沌系统,混沌的分析方法,混沌同步的分类以及复杂网络的概念等。这些知识是后面许多讨论的准备。 第二章研究了有周期边界条件的一维最近邻耦合Kuramoto模型,发现当振子的自身频率相对固定时,振子在环上不同的排序方式将导致全局锁相时的临界耦合强度Kc的差异。如果振子在环上按自身频率从小到大排序且首尾相接,那么锁相时需要的Kc是任何排列方式下最大的。当打乱这种顺序排列,让自身频率较大的振子和自身频率较小的振子间隔排列,也就是在环上尽量让频率较大的振子和频率较小的振子均匀分布,避免让两个或多个自身频率大的振子直接相连,这样的排序会大大减小锁相时所需的Kc。最后,通过解析的方法给出了当振子自身频率相对固定时振子在所有排列方式下Kc的下限的计算方法。 第三章提出了一个包含两个耦合参数的混沌动力学模型,通过设定两个参数的符号来代表吸引和排斥耦合间的相互作用。吸引和排斥耦合在生物系统中是很常见的,比如在心肌细胞收缩及钙瞬变的过程中起到关键的作用。吸引和排斥耦合的相互作用会产生很多非平凡的现象。在吸引和排斥耦合的竞争下,耦合混沌系统表现出了丰富的动力学现象,包括完全同步,周期的反向同步,混沌的反向同步以及振幅死亡等现象。进而针对两态共存的现象以及状态间的转变过程进行了细致的研究。本章最后着重探讨了系统在最稳定的振幅死亡状态时(即在最大李雅谱诺夫指数局部最小值的地方)产生的一个特别的现象——两个子系统在走向振幅死亡过程中相位差改变(并伴随着频率跳变),通过对系统的特征值及特征向量的分析首次给出了合理的解释。 第四章研究了动态的一维耦合映像格子模型的时空动力学行为。发现对网络结构进行随机重连时,保持一定的重连周期T有助于时空周期同步态的产生。从系统的内在扭结结构出发,分析了这种时空周期同步产生的原因。通过计算在不同的T下同步吸引域大小B,发现在T较小的范围内,T为偶数时的同步吸引域比为奇数时的吸引域要大很多。而且通过计算不同的T下系统达到同步所需的平均时间AT,发现当T=2时,系统的周期同步态不仅是全局吸引的,并且到达同步的平均时间是所有重连周期里最短的。 第五章研究了两个复杂网络间的混沌同步问题。自从Watts与Strogatz提出了小世界模型、Barabasi与Albert提出了无标度模型的概念后,掀起了世界上许多科学家研究复杂网络的热潮。如果说前面几章的研究是通过简单结构的耦合系统理解复杂的动力学行为,那么最后一章将延伸到复杂的耦合结构下来讨论复杂系统的行为。在两个复杂网络间有一条连接的前提下,提出了提高整体网络的同步能力的优化连接策略——最大度节点连接或中心连接策略,并通过数值仿真验证了结论的普适性。另外,本章还讨论了权重网络的情况。发现当固定网络内耦合强度、增大网络间耦合强度时所产生的同步效果比固定网络间耦合强度、增大网络内耦合强度要好得多。此外,同步效果并不会随着耦合强度的增大而无限的提高,而是存在一个上限。 第六章为全文总结。


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