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低秩矩阵与张量完整化问题的算法研究

耿娟  
【摘要】:矩阵完整化问题的主要研究内容是在己知矩阵部分元素的情况下如何将一个低秩或近似低秩的矩阵补充完整,此问题的直接推广是张量完整化问题.本文主要针对矩阵完整化问题和张量完整化问题的模型建立和求解算法进行探讨,主要有如下几点贡献: 1、我们建立了指示函数与核范数的极小化模型,并利用迫近映射的概念设计了求解该模型的迫近点算法(PPA-IF).该模型的优点是不含正则参数,并将含噪声与不含噪声的矩阵完整化问题统一为一个模型.接下来,我们分析了算法的收敛性并给出严格的证明.数值结果表明相比较于其他提到的算法我们的算法在时间和精度方面方面都有很大的改进. 2、核范数是秩函数在单位球内的最佳凸逼近,但二者之间仍有很大的差异,为此我们提出了秩函数一系列非凸逼近. (1)首先我们用光滑函数——双曲正切函数来代替秩函数建立了求解矩阵完整化问题的光滑函数模型并设计了梯度投影算法(HTA)来求解.对随机生成的低秩矩阵完整化问题和图像恢复问题的测试结果表明我们提出的HTA算法能够得到更高的精确度,同时对于少量抽样的问题也能获得比较好的恢复效果. (2)为了减少核范数与秩函数之间的差距,我们在核范数的定义中添加了权向量并建立了求解矩阵完整化问题的加权核范数模型.随后利用极大极小方法设计了加权软阈值算法并通过对随机生成的矩阵完整化问题和图像恢复问题的实验说明我们提出的算法在准确性和计算时间上都有所提高. (3)我们提出利用一个新的指数型函数来代替秩函数.同样的对随机生成的矩阵完整化问题、Jester数据和图像恢复问题的测试表明该方法能够得到更高的恢复精度. (4)针对很多非凸模型,我们进行归纳并建立了一个非凸模型框架,在这个框架下,已有的非凸模型及我们前面所提出的一些非凸模型都可以归入其中.然后,针对此框架,我们采用DC规划及DC算法进行求解.数值结果表明我们的算法能够得到更好的恢复效果. 3、我们针对硬阈值类的算法进行了改进.许多硬阈值的算法都是用负梯度方向作为使函数值下降的搜索方向,但用负梯度方向会导致“之”字型路线而减慢收敛速度.我们受半迭代方法的启示设计了半迭代硬阈值算法.与其他的迭代硬阈值算法相比,改进后的算法在计算时间上有很大的提高. 4、我们将加权核范数模型引入张量完整化问题中,建立了张量情况下的非凸模型并利用极大极小加权软阈值方法来求解.另外,对于求解张量完整化问题的硬阈值方法,我们也应用半迭代方法在下降方向上进行改进,并得到了很好的效果.


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