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从少体系统到多体系统:动力学和统计力学

郑志刚  
【摘要】:在第一部分,我们讨论了少自由度动力学系统的遍历特征。研究表明,遍历性(全局混沌)保证了统计定律在动力学系统中的运用,大自由度数目并不一定是导致运用统计的本质条件。文中讨论了几种动力学模型。在第三章,对于硬球系统,只要球的个数N大于1,系统就是遍历和混合的。我们发现玻耳兹曼熵的演化具有长时尾行为,导致这种行为的动力学原因是混沌运动中那些任意长的规则运动片段。我们还数值讨论了不同质量硬球系统的遍历性。第四章计算了逼近圆形台球系统的三种多边形逼近的Lyapunov指数,这三种方式以不同的速率逼近圆形台球。随着边数N的增大,指数衰减的奇异性和奇异点数的线性增长之间的竞争导致Lyapunov指数的Poisson行为。在第五章,我们从理论和数值上探讨了修正的Henon-Heiles模型(有反射边界)的遍历性质及热力学。计算表明,通过调整反射边界,系统可以达到遍历。本章还讨论了反磁Kepler问题的遍历性。最后一章提出和讨论了一系列有关遍历理论的尚未解决的问题。 在第二部分,我们探讨了单个布朗粒子和耦合链在倾斜周期场中的时空动力学。对于单个布朗粒子的情形,我们给出了统一的微扰解析解,它对大、小阻尼情形均适用。对于耦合粒子系统情形,我们探讨了Frenkel-kontorova链的扭结(kink)动力学行为,主要考虑了简谐和正弦耦合两种情形。我们主要讨论链在低速区的时空动力学。由于格点的分立性(有限的耦合强度),运动的扭结在传播过程中会辐射声子波,扭结运动速度和它辐射的线性波频率会锁定,由此导致速度-外力特性曲线出现共振台阶。我们引入了平均场处理,给出了共振速度谱的统一解,其中把公度性(通约性)充分考虑进去。我们发现台阶上时空动力学的三条道路,并对它们的机制进行了探讨。当耦合是非凸的,例如正弦耦合,上述共振行为就会被部分地破坏;对于这种耦合情形,我们发现在高速区的分岔行为。我们还讨论了FK链在温度(噪声)环境下的扩散行为。研究表明,当耦合强度超过一个阈值时,粒子间的耦合会增强扩散性。对于大的外力,共振行为会引起链的迁移率减小,即扩散受到抑制。上面的结果可以应用到对Josephson结阵列和阶梯、表面摩擦和其它领域的实验研究中。


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