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第三类CARTAN—EGG 域的BERGMAN 核函数

赵玲  
【摘要】:1999年殷慰萍教授引进了四类Cartan-Egg域,其中第三类Cartan-Egg域为 CE_Ⅲ(M,N,q;K):={W_1∈C~M,W_2∈C~N,Z∈R_(q): |W_1|~2+|W_2|~(2K)<det(I-ZZ~T),K>0} 其中RⅢ(Q)为华罗庚先生所定义的第三类Cartan域,Z~T表Z的共轭转置,detA表A的行列式, M,N,A均为正整数.本文的目的是显式表出城CE_(M,N,q;K)的核函数. 先研究M=N=1的情形. 由于CE_Ⅲ(1,1,q;K)不是对称域,也不是Reinhardt域,因此华先生所用的求Cartan域的Bergman核 函数的方法以及通过对无穷幂级数求和来求Reinhardt域的Bergman核函数的方法均不适合于CE_Ⅲ(1,1,q;K) 然而,在上述两种方法的基础上,我们创造出一个新的方法来求CE_Ⅲ(1,1,q;K)的Bergman核函数. 下面的变换为域CE_Ⅲ(1,1,q;K)的全纯自同构,并且它把域中的任一点(W_1,W_2,Z_0)映为(W_1~*,W_2~*,0): 其中θ〔0,2π),j=1;2; A~T A=(I-Z0Z0T)-1,Z0∈RIII(q);i=√-1. 设(W1*;W2*,Z*)=f(W1,W2,Z)为域 CEIII(1,1,q;K)的上述全纯自同构,令KIII(W,Z;?,?)为 CEIII(1,1;q;K)的 Bergman核函数,可知, KIII(w;Z;?,?)=KIII(W_1~* ,W_2~*,0;?,?,0)(|det(J_f)|~2Z_0=Z. 其中(|det(J_f)|~2)|Z_0=Z=det(I-ZZT)-~((q+1/K)) 由于 CEIII(1,1;q;K)为semi-Reinhardt)域,可知其标准完备正交函数系为 {W_1~J1W_2~J2P_(Ki)~((j2j2))(Z)} / 5 其中J;,入二*,1,…;。二 l;2,·;m压;*丛二(呷+ k一 1)4k,(呼一 1)g一‘,由 B**g*a* M的定义, Hill(W,叱0; WI,叱,0) 一 ZI *l’‘。y,。PJf。。。’(*)I。 JI。JZ=0 = ZI口。;。爿‘;w厂l‘’。I咐‘’。 J1,)2一口 通过计算并利用正文中华老的命题二,得到 12 y,。一(。+2)了\L 且* 十厂十6十t广) NI。,、 H 11ff””7 DkWW k=0“\J‘’”I“\ KI 其中。-咛,在下文中,若未作特殊说明,均指。-呼. 通过对无穷幂级丑求和,我们得到 uk+2 沁Jf(y,y,*。y,y,*)一 K冗一’n十*‘二力恳二dr(kitl 一Iw丫厂‘汝十*一弄’k(r+1)ttl一I*厂l*)十一IFV;I J。r十。) 杠=口 瞩=口 其中*!I‘=IWII‘[det(-ZZ”)]’二Xl,Inyl‘一IWII‘[d,t(-ZZ”)]k=XZ. 这样就得玉CElll(二,lq K)的Bergm*n M函数Kill(叭ZIW,Z)一ket(IZ h(q十夫)厂穴一《*十*)厂比,XZ) 其中 uk+2 F(X。,XZ):一二b。二dr(k)(l一X。)一’&十‘一『’几‘r(r十1)[( 一X;)‘’厂一X2]’r十’。 炸=口 歹=口 最后,由膨胀原理,可得 CE。。。*;厂,g;K)的 Bergman核函数为: Q*十厂,2_,_见尸、 _一(N+M+n)r.-r._’,’vcrTll一(q+M—1+p)r Hlrtl,rtZ) -L—-’-—一,JryMM.!htrN一1 其中函数关系 F(XI;XZ)同上文, Xl=mpl【et(厂一了Z丁)]‘,X。二且隅尸【et(厂一ZZ了)]十, 【WJ=卜;J+…+卜l计八咐‘=卜。十+…十卜N、 上文中的6。=。;而bl,…,b。可由递推公式求出;同详,山(k)=。,d;(k),…,d。


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