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泊松群胚及其在流形上的作用

钟德寿  
【摘要】: 本文详细讨论了群胚在流形上的作用及其约化。正如人们所熟知,李群在 流形上的作用,在物理学中有着重要的应用,也是微分几何的重要研究内容。在 辛几何中,对哈米尔顿作用及其辛约化的研究解决了对称哈米尔顿系统中的许 多问题。利用泊松作用又解决了量子群的某些问题。作为李群作用的类似物, 自然可以考虑李群胚在流形上的作用。一个李群G在辛流形M上的作用,如 果带有余伴随等变的动量映射J:M→G~*,则这个作用可以解释为辛群胚T~*G 在M上的辛作用。辛作用及其约化定理由Mikami和Weinstein给出。我们在这 里找到了约化后的辛流形之间存在的关系。而且这个辛作用可以等价平原辛群 胚的派生辛群胚在流形的某个子流形上的作用。由于群胚作用不是整体有意义 的,因此,我们利用群胚中双截面的概念,给出了辛群胚作用的充要条件和泊松 群胚作用的充要条件。与刘张炬、Weinstein和徐平的定理相比,条件减弱了。 我们还得到了泊松作用更多的性质,从形式上与泊松李群在泊松流形上的泊松 作用的结论相统一。在泊松作用之下泊松流形上的李双代数胚与泊松群胚的切 李双代数胚有着密切的关系。我们证明了泊松群胚在泊松流形上的作用为泊松 作用时,就有泊松流形上的李双代数胚和泊松群胚的切李双代数胚之间存在着 李双代数胚映射。这个结论推广了刘张炬和徐平的结果。我们给出了泊松群胚 在泊松流形上的作用的约化定理,它的证明是利用作用的内蕴性质给出的。与 以往的形式证明有所不同,使得作用的本质更容易掌握。我们利用Dirac结构特 征对的概念,将各种形式的李双代数胚中的Dirac结构的可积条件统一起来,包 括一般流形上的Dirac结构、泊松流形上的Dirac结构、Hamiltonian算子的图 等等。并且,利用这种思想给出了刘张炬等在文章[3]中一系列定理的新证明, 使得定理及其证明变得更简单、清楚。由于群胚作用不同于群的作用,群胚作用 的齐性空间也与群作用的齐性空间不同。因此,刘张炬等给出了它的新定义。但 是,在群胚作用的情形还有比齐性空间性质较弱的空间,这是很自然的一类。我 们利用泊松作用与李双代数胚的态射之间的关系和拉回Dirac结构的概念,讨论 了约化泊松作用。 最后我们研究了李代数的形变与Nijenhuis算子,并分别讨论了流形上的 Nijenhuis张量和泊松流形上的泊松结构、予辛流形上的予辛结构之间的关系, 即:Poisson-Nijenhuis流形和Ω-Nijenhuis流形。然后引入相容的Nijenhuis算子 对,在Dirac-Nijenhuis结构的基础上,将两者统一起来。


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