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华罗庚域上的Bergman核函数和超Cartan域的比较定理

赵晓霞  
【摘要】: 本文的主要内容是计算第三类华罗庚域HE_Ⅲ(p_1,…,p_r,q,N_1,…,N_r)(简记为HE_Ⅲ) 的Bergman核函数的显表达式以及证明第三类超Cartan域Y_Ⅲ(N,q;K)(简记为Y_Ⅲ) 上的Bergman度量与Kobayashi度量的比较定理。 早在五十年代,华罗庚对四类不可约的对称典型域(对称域一定为齐性域),利 用全纯自同构可递群得到了其上的Bergman核函数的显表达式(此方法称为华罗庚 方法)。在此基础上,建立了这四类典型域上的调和分析的基本理论。这是多复变函 数论的经典著作。对于非对称的齐性域,也可以用华罗庚方法得到其Bergman核函 数的显表达式。对于蛋型域由于其完备正交函数系是由单项式组成,因此可以通过 无穷级数求和法对一些情况求出Bergman核函数的显表达式。目前能求出Bergman 核函数的显表达式的域,基本上就是上述两种类型。一般而言,能否构造一些域, 使其Bergman核函数能显式求出来是比较困难的。因而一些数学家认为,凡是其 Bergman核函数能显式表示的域都是很好的域和值得研究的域。殷慰萍构造了一种 能够得到Bergman核函数显表达式的新的域。我们把这种新的域称为华罗庚域。此 域既不是齐性域,也不是Reinhardt域,所以在计算其Bergman核函数的显表达式 时,我们就不能单纯用华罗庚方法或级数求和的方法来计算。本文给出了一个新的 求Bergman核函数的方法。关键之处有两点:一是给出华罗庚域的全纯自同构群, 使得其中每一群元素f(w,z)将形为(w,z)的内点映为(w~*,O)。这样,其Bergman核 函数K((w,z);(w,z))=|det(J_f)|~2K((w~*,O);(w~*,O)),这里(J_f)表示变换f的雅可比 矩阵,det(J_f)表示(J_f)的行列式。它是完全可以求出来的。由此可知,问题就归 结为求出K((w~*,O);(w~*,O))的表达式;其二是引进Semi-Reinhardt域的概念,求出 Semi-Reinhardt域的完备标准正交函数系,而华罗庚域是Semi-Reinhardt域,利用 这个完备标准正交函数系就可以知道K((w~*,O);(w~*,O))恰巧是一个关于(w_1~*,…,w_r~*) 的多重的无穷级数,然后通过无穷级数求和的方法来确定。这里,无穷级数的和函 数求出来之后,我们才认为得到了显表达式。 第三类华罗庚域是指: 其中‖w_(j)‖~2=|w_(j1)|~2+…+|w_jN_j|~2,N_1,…,N_r,q为自然数;p_1,…,p_r为正数,R_Ⅲ(q) 是第三类对称典型域。 博士研究生学位论文2 经计算第三类华罗庚域的Bergman核函数为: __I yy”y。。_It。I。_ill。 — —J_。/.;o厂于I一!*。。士十9一二J_qN一1厂Z【 LaEt(十z二)”“‘“‘”l“”二L二1”oh 一. 注意,这里的C=了了兴生芯大7而, 屿=恤乙)DI*=…(J》DD*de玄以十*Z厂且/J*j=IZ * 这就是下文第H章中的p.25)’式,这是HE。在最一般情况下的Bergman核函数. 当其中的无穷级数能求出其和函数时,sergman核函数就得到了显表达式.这里以 及下面的b。如下文的p.厂’式所示. (i).当PI,…”,为正整数时,HE。的Bergman核函数能用多变数的超几何函 数来表达: 』_r。,q(g一1)/2 oNI+…+N.一r rl—lr,一1 n。_l,r。v\一();_,二十叫卜q一 1)瞩二一气【U v- vw_a L血门 1 干二二 I”sM‘”IPI””》o_》…》 UY u、、。\·I—-j s-咄、,NilD。N-二二J 二JJ k=l“”q!=O qr=0 F(k+十7二,L坦l.、,n。1。。。 ILry-t-1-t-Aij=lie)。(,),。;P q。十 1、q+n 一千二丁一二一三广工二F)‘’(l+k+>IAIAI,1,fi,yg. n厂。r上上上1 一 一一p。p 丛IJ=!“’pl’J=! 这就是本文第H章中的p.28)式.其中咕’*+k+z习宁,1,呼,yP)为超几何 函数(确切定义见下文第二章第四节),它如下式所示: 上二 上二"l+k+二二;王卜),人厂幻十二)._。 二 瓦 二”——J-勺_厂回 I 一二二二


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