Domain理论中若干问题的研究

【摘要】： 本文研究Domain理论中的几个前沿问题。本文工作分为两个部分。第一部 分属于经典Domain理论，确立了连续Domain中基的正规子集与连续子Domain 之间的一个对应关系，给出了连续子Domain的一个不依赖投影-嵌入对的纯代 数内蕴特征。该结果对于能行地求解连续Domain方程有重要应用价值。第二部 分研究量化Domain理论，以L-Fuzzy理论中层次化思想为指导，通过取度量补的 方法，建立了一个比较理想的量化Domain理论框架，并得到了一些颇具特色的 新结果。在这个框架中，不但可以按经典Domain理论和度量理论的线路继续深 入研究各种课题（如各种特殊的Domain，Scott拓扑和幂Domain等），同时它还为 进一步揭示量化Domain与L-Fuzzy理论以及并发系统准层模型之间的深入关联 提供了线索，因此具有相当大的理论和应用价值。而且，本文提出的方法和结论 本质上仅依赖于Frame的伴随性质。因此也适用于更一般的框架，如K.Wa(?)ner 的抽象序及一般的增强范畴理论。 在本文的第2章中，作者以正规子集概念为工具，确立了连续Domain中基 的正规子集与连续子Domain之间的一个对应关系，给出了连续子Domain的一 个不依赖投影-嵌入对的纯代数内蕴特征，证明了关于抽象基类上连续映射的一 个不动点定理。以连续子Domain的刻化和不动点定理为基础可以发展出求解连 续Domain方程的信息系统方法。如代数Domain的情形一样，该方法可以求解在 基的水平上含有真正等式的连续Domain方程。此外，由于该方法仅使用了最简 单的Domain概念，不涉及范畴或映射等外部概念，从而适用于发展能行连续 Domain理论或基于非经典集合论框架的Domain理论，后者的两个典型框架为 (?).Sam(?)in等人基于P.Martin-Lof直觉主义类型论的形式拓扑框架和P.Aczel的非 良基集合论框架。 本论文的第3章和第4章研究量化Domain理论，提出并发展了量化Domain 理论的一种新的观点：即将量化Domain视为L-Fuzzy拟序集，通过系统地使用 L-Fuzzy理论中的层次方法，得到了量化Domain理论中一些富有新意的结果。 第3章通过取度量补的方法，将层次化思想引入量化Domain理论。提出了 L-Fuzzy拟序集的范畴，证明了L-Fuzzy拟序集的表示定理，即每个L-Fuzzy拟序 集本质上等价于基础集合上的拟序层．本章还建立了关于L－Fp单调映射的一 种较理想的伴随理论，它同时推广了经典的序伴随和J．M．Rutten等人提出的度量 伴随理论．取度量补而不是直接研究L－值广义度量的方法是受到刘应明教授在 厂o口V拓扑用重域代替邻域思想的启发，这样做的结果也与h拓扑学中类似， 使得一些看似难以克服的困难得以顺利解决 第4章研究在t－F。icy拟序集范畴中的层次化收敛结构，完备化，不动点定 理和求解量化DOmain方程等问题．本章首光将用特殊序列（1川）来代替［0，1］这种 朴素的直观思想引申到一股Frame，在L－F闷）拟序集范畴中引入一种新的基于 层次结t；溉念的收敛理论，在很大百一上避免了用一般Frame代替【0，l］i·、‘来 的复杂性．随后在此基础上进一步讨论了L．F；zzv拟序集的层次完备化．层次不 动点定理等基本Domain理论内容．最后，在层次完备L－Fp偏序集的范畴中建 立了完整的求解DOmai，；方程理论．如J．M．Rutten在广义超度量DOma加理论所 做的情形一样，这种方法适用于带有层次结构的（非函子式）方程、因此不能由现 有的范畴论或其它的方法得到． 本文的部分研究成果己撰写成论文［4，5，6，9－山，其中m发表在《模糊系 统与数学》上，问将发表在《数学进展》上．问被第一届Domain理论国际会议论 文集收录，将发表在 （Doma and Process｝（Kluwer Academic Publisher 2001）中． 叨己被第 17届《程序语义学数学基础》（Mathematical Foundahons of Program semanl，，MFPS XVll，Aarhus，De，mark 2001）国际会议接受，将》文在 《EICCtr＊ni＊ N＊iCS n Th＊OT印Cal CO呷Utef SCIChCe》（SCD．【10］，Ill］，112］均己投稿．