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华罗庚域上的Bergman核函数、比较定理和Einstein-k(?)hler度量

王安  
【摘要】: 在这篇论文中,我们给出了第一类华罗庚域HE_I(N_1,…,N_r,m,n;p_1,…,p_r)的Bergman核函数的显表达式。证明了第一类超Cartan域Y_I(N,m,n;K)的Bergman度量和Kobayashi度量的比较定理。并且给出了第一类超Cartan域Y_I(1,m,n;K)的Einstein-K(?)hler度量。下面是本论文的三个方面的结果。 第一部分 Bergman核函数在多复变函数论的发展过程中,起着十分重要的作用。Bergman核函数的概念是由波兰数学家S.Bergman在1921年引进的.众所周知,C~n中的任一有界域,都存在唯一的Bergman核函数。但是哪些域能够求出Bergman核函数的显表达式是一个重要的问题。Bergman核函数的显表达式,对解决一些重要问题很有帮助。例如下面两种情形:Mostow和Siu在对具有负截曲率的紧K(?)hler流形的万有覆盖一定双全纯等价于超球这一重要猜想所给出的反例中,复椭球域{z∈C~2:|z_1|~2+|z_2|~(14)<1}的Bergman核函数的显表达式起着关键的作用。另外在研究陆启铿猜想时,也经常会用到Bergman核函数的显表达式。因此,如何求出有界域的Bergman核函数的显表达式,仍然是值得研究的一个重要方向。至今还一直吸引着许多数学家在这个方向进行研究。 但是能求出Bergman核函数的显表达式的域的种类并不多。以前,只有两种类型的域可以求出Bergman核函数的显表达式。一类是有界齐性域,另一类是复椭球域(Complex ellipsoids),又称作蛋型域(Egg domain)或卵形域(Complex oval)。 华罗庚通过典型域的可递自同构群,以及Bergman核函数在全纯自同构下的变换关系,得到了四大类典型域的Bergman核函数的显表达式。这种方法称为华罗庚方法。对于一些非对称的齐性域,也可以用华罗庚方法得到了它们的Bergman核函数的显表达式。 我们知道有界Reinhardt域的完备标准正交系为单项式,复椭球域是包含原点为中心的有界Reinhardt域。于是可以通过无穷级数求和函数的方法,计算域的Bergman核函数显表达式。这种求Bergman核函数的显表达式的方法称为级数法。 通常,构造一些可以求出Bergman核函数的显表达的域,是比较困难的。因此,一些数学家认为,凡是Bergman核函数能显式表示的域都是很好的域和值得研究的域。 摘 要2 殷慰萍引进了一些新的类型的可以求出Bergnlarl核函数的显表达式的域,称 为华罗庚域.由干华罗庚域既不是齐性域,也不是Reilll。ardt域,所以既无法用华 罗庚方法,也无法用级数法来求其sergman核函数.在第一部分,我们给出一种 新的方法来求出华罗庚域的serg。nan核函数.首先给出其全纯自同构群,其中的 元素厂…),二)将点…夕。)映为点…末,0).由于kYgTTaT核函数K《7。二):闪)一 卜。外人)尸K《。I)“O):厂【可、其中(,扣)是厂…,,。)的JhCOh矩阵,咖。(,/)是(入) 的行列式,这些都是易知的.所以间题变为只须计算K《。1。”,山:厂了历.然后给出 Semi-Reillhardt域的定义,并且求出Semi-R.ed。Ilardt域的完备标准正交基。由于华罗 庚域是Semi一H.einhard土域量所以可以将H((。。”间0)二(r厂”回0))表示为(卜2【民卜 扎回回卯Z。川) 的多重无穷级数,如果能求出这个级数的和,就得到了华罗庚域的Bergman核函数 的显表达式.第一类华罗庚域的形式如下: mI(NI间·瞩·民从闺一 1二 PI,回 巴 P尸)一{)。。C~民Z。RI卜回…二 Z]D。巨、d:王厂一**”》 j。l 其中卜 吐 一卜***十··回十卜*儿尸,*J回回@号从吗了rZ问7丛为自然数目p*号·回邑间尸7为正实数回 凡卜,叫表示华罗庚意义下的第一类Cartal。域,Z”表示Z的共轭转置,dd表示 行列式. 我们给出第一类华罗庚域的sergman核函数的显表达式如下: 一 沮 巨 *;口vI+Ng十 十V.1一v,一卫 们一lq,一l一lffin十1 二… 二 二uk十川1一小‘人斗” hi=0 k,1=0 k=l 厂门n!_,_. 下7叉O八。人kT_l。。,,丁。一(。十n十>,_。十) t--,,,v-rl 大,oxh+l+------ 其中 P厂?回回口J PJ为正整数,Pr为正实数回 PI一卜 巴回 I了。l’一卜!互’十回回回+9互\‘. ’II=d·山l=12”’/’‘l二12·l Z=一 (l一E二ll山广。;。i)六 第二部分 在经典的几何函数论的发展中,Riemal。n映照定理长时间的起着主要的作用. 但在高维的时候并不存在这佯的定理,这促使人们去寻找Riema。11映照定理的替代 物.各种双全纯不变量的使用在一定程度上达到了这个目的.


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