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非齐型空间上算子有界性的一些研究

赵冰  
【摘要】: 从五十年代Calderón和Zygmund创立第一代Calderón-Zygmund算子,发展到今天已经成为一个非常广泛的研究领域。将近五十年的发展,只要比较一下斯坦因在1970年出版的调和分析的经典教材“奇异积分与函数的可微性”和他在1993年出版的著作“调和分析:实分析,正交性和振荡积分”人们发现唯一一直没有改变的是测度的双倍特性,即存在某个正常数C使得μ(B(x,2r))≤CμB(x,r))对所有的x∈X,r>0成立,这里X是某个赋有一个Borel测度μ的度量空间,通常,B(x,r)={y∈X:dist(x,y)≤r}是中心在x,半径为r的闭球。最近有关Calderón-Zygmund奇异积分算子理论和函数空间理论的最新进展表明,对调和分析大多数经典结果,双倍条件是多余的。 X.Tolsa在文[19]中建立了非齐型空间上的Littlewood-Paley理论和T1定理;F.Nazanov, S.Treil和A.Volberg在文[8]和[9]中建立了非齐型空间上的Tb定理,使得齐型空间的理论框架基本建立了起来。但还有很多问题没有解决。这些问题的解决需要新的方法,有一定的难度。其中最主要的问题是在非齐型空间上建立Hardy空间理论和加权模不等式。这些问题的解决不仅会极大的丰富奇异积分算子理论和函数空间理论,而且会对偏微分方程的研究起到推动作用。本文在非齐型空间上的奇异积分算子及相关算子的加权有界性方面做了一些初步的研究。X.Tolsa在文[18]中引入了RBMO(μ)空间和适当的Sharp极大算子:得到与经典理论类似的等价性,即f∈RBMO(μ)M~#f∈L~∞(μ)。对交换子[b,T],b∈RBMO(μ),T是在测度μ下定义的Calderón-Zygmund算子,Tolsa得到了交换子的强(p,p)有界性。本文第一章通过证明一个变形的Sharp估计,从而得到奇异积分交换子的加权有界性;J.Orobitg和C.Pérez在文[10]中引入了非倍测度的A_p权理论并证明了C-Z奇异积分的加权有界性,本文第二章得到了分数次积分算子和分数次极大函数在非倍测度下A_p(μ)权的加权估计;E.Sawyer在文[13]中得到了分数次积分的一个双权弱型不等式,本文第三章把E.Sawyer的结果推广到非倍测度的情形。


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